Mathématique m1476

Les relations entre les angles

​​​​​​​Lorsqu'une sécante coupe une ou plusieurs droites, elle forme des paires d'angles qui ont des propriétés communes.

Les angles adjacents

Les angles adjacents sont des angles qui ont le même sommet, un côté commun, et qui sont situés de part et d'autre de ce côté commun.

Les angles adjacents sont donc des angles « voisins ». Ils doivent être l’un à côté de l’autre (avoir un côté en commun) et partager le même sommet afin de pouvoir être qualifiés d'adjacents.

Les angles 1 |(\angle BAC)| et 2 |(\angle CAD)| ci-dessous sont des angles adjacents puisqu'ils ont le même sommet |(A)| et qu'ils partagent un côté commum |(\overline{AC})|​.​
m1474i20.JPG

Les angles complémentaires

Les angles complémentaires sont des angles dont la somme des mesures est égale à 90°.
Lorsque la somme des mesures de deux angles a une valeur de 90°, on qualifie ces angles de complémentaires. 

||m\angle 1 + m\angle 2 + ... = 90^\circ||

Si on désire trouver l’un des deux angles lorsque l’une des deux mesures est donnée, il suffit de soustraire la valeur de cet angle à 90° afin de trouver la mesure manquante.

Les angles 1 |(\angle BAC)|et 2 |(\angle CAD)|​sont complémentaires puisqu'ils forment, ensemble, un angle droit.
m1474i21.JPG 
Même si les angles ne sont pas adjacents, ils peuvent être complémentaires lorsque la somme de leurs mesures égale 90°.
m1474i22.JPG 

Les angles supplémentaires

Les angles supplémentaires sont des angles dont la somme des mesures est égale à 180°.

Lorsque la somme des mesures de deux angles a une valeur de 180°, on qualifie ces angles de supplémentaires.

​||m\angle 1 + m\angle 2 + ... = 180^\circ||​

Si on désire trouver l’un des deux angles lorsque l’une des deux mesures est donnée, on n'a qu’à soustraire cet angle de 180°.

Les angles 1 et 2 sont supplémentaires puisqu'ils forment, ensemble, un angle plat.
m1474i23.JPG 
Même si les angles ne sont pas adjacents, ils peuvent être supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures égale 180°.
m1474i24.JPG 

Les angles opposés par le sommet

Les angles opposés par le sommet ​sont des angles isométriques dont le même sommet et les côtés de l'un sont le prolongement des côtés de l'autre.

Concrètement, des angles opposés par le sommet sont composés de deux droites qui ressemblent à la lettre X

Les angles 1 et 3 sont opposés par le sommet tout comme les angles 2 et 4.
m1474i25.JPG 
Ainsi:
||m\angle 1 \cong m\angle 3||
||m\angle 2 \cong m\angle 4||​

Les angles correspondants

Les angles correspondants n'ont pas le même sommet mais sont situés du même côté d'une droite sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur de deux droites coupées par cette sécante.

Des angles correspondants sont isométriques à condition que les deux droites coupées par la sécante soient parallèles.

Ainsi, la condition des droites parallèles est essentielle si on veut affirmer que des angles correspondants sont isométriques.

Dans le dessin ci-dessous, les droites horizontales sont parallèles et elles sont coupées par une sécante.
m1474i26.JPG 
Ainsi:
||\begin{align} m\angle 1 &\cong m\angle 5 \\
m\angle 3 &\cong m\angle 7\\
m\angle 2 &\cong m\angle 6 \\
m\angle 4 &\cong m\angle 8 \end{align}||

Dans le cas d'une droite coupant deux autres droites, si deux angles correspondants sont isométriques, alors ces angles sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante.

Les angles alternes-internes

Les angles alternes-internes
|\tiny \bullet|n'ont pas le même sommet,
|\tiny \bullet|sont situés de part et d'autre d'une droite sécante,
|\tiny \bullet|sont à l'intérieur des droites coupées par cette sécante.

Des angles alternes-internes sont isométriques à condition que les deux droites coupées par la sécante soient parallèles.

Ainsi, il est très important que le parallélisme des droites soit mentionné ou possible à déduire selon les informations fournies dans le contexte.

Dans le dessin ci-dessous, les droites horizontales sont parallèles.​​​
m1474i27.JPG 
Ainsi:
||\begin{align} m\angle 1 &\cong m\angle 4 \\
m\angle 2 &\cong m\angle 3 \end{align}||

Dans le cas d'une droite coupant deux autres droites, si deux angles alternes-internes sont isométriques, alors ces angles sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante.

Les angles alternes-externes

Les angles alternes-externes
|\tiny \bullet| n'ont pas le même sommet,
|\tiny \bullet| sont situés de part et d'autre d'une droite sécante,
|\tiny \bullet| sont situés à l'extérieur des droites parallèles coupées par cette sécante.

Des angles alternes-externes sont isométriques à condition que les deux droites coupées par la sécante soient parallèles.

À l'inverse, si les deux droites qui sont coupées par la sécante ne sont pas parallèles, alors les angles ne sont pas isométriques.

Dans le dessin ci-dessous, les deux droites horizontales sont parallèles.
m1474i28.JPG 
Ainsi,
||\begin{align} m\angle 1 &\cong m\angle 3 \\
m\angle 2 &\cong m\angle 4 \end{align}||

Dans le cas d'une droite coupant deux autres droites, si deux angles alternes-externes sont isométriques, alors ces angles sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante.

Trouver des mesures d'angles à l'aide des relations entre les angles

Il est possible d'utiliser les propriétés des angles pour trouver la mesure manquante d'un angle.

Quelles sont les mesures des angles 2, 3, 5 et 8 dans le dessin ci-dessous si on sait que :
|\bullet d_1 \mid \mid d_2|,
|​\bullet m\angle 1 = 122^\circ |?
m1474i30.JPG 
Ainsi,
||\begin{align} m\angle 2 &= 58^\circ \ (\angle 1 \ \text{et} \ \angle 2 \ \text{sont supplémentaires}) \\
m\angle 3 &= 58^\circ (\angle 2 \ \text{et} \ \angle 3 \ \text{sont opposés par le sommet} )\\
m\angle 5 &= 122^\circ (\angle 1 \ \text{et} \angle 5 \ \text{sont correspondant}) \\
m\angle 8 &= 122^\circ (\angle 1 \ \text{et} \ \angle 8 \ \text{sont alternes-externes})\end{align}||
Les vidéos
Les exercices
Les références