Mathématique m1479

La circonférence d'un cercle et l'aire d'un disque

​​​Un cercle est une courbe dont tous les points sont situés à égale distance d'un même point qu'on appele le centre.

Comme toute figure plane, le cercle est affecté d'une aire et d'un périmètre. Par contre, dû à sa forme particulière, le moyen utilisé pour calculer ces grandeurs est différent des autres figures planes comme le carré, le rectangle ou le triangle.  

Il est à noter que, lorsqu'il est question de l'aire d'un cercle, nous devons alors utiliser le terme «disque» afin de qualifier le cercle.

La circonférence d'un cercle

La circonférence d'un cercle correspond à la mesure de son contour, donc de son périmètre.

Pour mesurer la valeur de la circonférence d'un cercle, il est possible d'utiliser une corde et d'en faire le tour. Il suffit ensuite de mesurer la distance de l'enroulement de la corde à l'aide d'une règle. Par contre, une manière plus efficace de mesurer la circonférence d'un cercle est d'utiliser la formule suivante:

||\text{Circonférence}=\pi\cdot \text{diamètre}||
Ou
||\text{Circonférence}=2\cdot \pi \cdot \text{rayon}||

On peut connaitre la mesure du diamètre à partir du rayon et vice versa. Puisque la valeur du diamètre équivaut à deux fois celle du rayon, il suffit donc de multiplier le rayon par deux. À l'inverse, il est possible d'obtenir la valeur du rayon en divisant le diamètre par deux.

Le symbole |\pi| se lit «pi» et correspond à une valeur d'environ 3,1416 arrondi au dixmillième près. Il s'agit d'un nombre irrationnel qui correspond au rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre: |\pi =\displaystyle \frac{C}{d}|

Il est à noter que peu importe les dimensions du cercle, le rapport entre sa circonférence et son diamètre demeure toujours le même (|\pi| ou environ |3,1416|). 

 

Quelle est la circonférence du cercle ci-dessous?

||\begin{align} \text{Formule de la circonférence}&=2\cdot\pi\cdot\text{rayon}\\
&=2\cdot\pi\cdot4\\
&\approx 25,13\,cm\end{align}||

 

Quelle est la circonférence du cercle ci-dessous?

||\begin{align} \text{Formule de la circonférence}&=\pi\cdot\text{diamètre}\\
&=\pi\cdot8\\
&\approx 25,13\,cm \end{align}||

 Recherche du rayon à partir de la circonférence

Nous pouvons également isoler le rayon à partir de la circonférence d'un cercle.Par exemple, si la circonférence du cercle ci-dessous est de 15,71cm, quel est son rayon?
 

Dans ce cas, il s'agit d'utiliser la formule associée à la donnée recherchée (rayon) et de procéder à l'isolation de la variable.
||\begin{align} \text{Circonférence}&=2\cdot\pi\cdot\text{rayon}\\
15,71 \ cm &=2\cdot\pi\cdot\text{rayon}\\
\frac{15,71cm}{\color{red}{2}}&=\frac{\color{red}{2}\cdot\pi\cdot r}{\color{red}{2}}\\
7,855 &=\pi\cdot r \\
\frac{7,855}{\color{red}{\pi}} &= \displaystyle\frac{\pi\cdot r}{\color{red}{\pi}}\\
2,5 &= r\end{align}||
Le rayon de ce cercle est de 2,5 cm.

L'aire du disque

 L'aire d'un disque correspond à la surface qu'il occupe. 

Contrairement à la circonférence, il est pratiquement impossible de connaitre l'aire d'un disque sans utiliser de formule. L'aire peut être calculée uniquement à partir de la valeur du rayon du disque.

||Aire_{cercle}=\pi\times rayon^{2}||

 

Quelle est l'aire d'un disque dont le rayon vaut 6 cm?
 

||\begin{align} \text{Aire du disque}&=\pi \cdot \text{rayon}^2\\
&=\pi \cdot 6^2\\
&=\pi \cdot 36\\
&\approx113,09\, cm^2\end{align}||

 Recherche du rayon à partir de l'aire du disque

Il est également possible d'isoler le rayon à partir de l'aire d'un disque. Par exemple, si un disque a une aire de 153,94 cm2, quel est son rayon?
 

||\begin{align} \text{Aire du disque}&=\pi \cdot \text{rayon}^2\\
153,94cm^2&=\pi \cdot r^2\\
\frac{153,94}{\color{red}{\pi}}&=\frac{\pi\cdot r^2}{\color{red}{\pi}}\\
49&=r^2\\
\color{red}{\sqrt{49}}&=\color{red}{\sqrt{r^2}}\\
\sqrt{49}&=r\end{align}||

 

Il est possible de trouver l'aire d'un disque à partir de sa circonférence. D'abord, il est nécessaire de trouver le rayon. Par exemple, quelle est l'aire d'un cercle dont la circonférence est de 15,71 cm?
 

||\begin{align} \text{Circonférence}&=2\cdot\pi\cdot\text{rayon}\\
15,71cm&=2\cdot\pi\cdot\text{rayon}\\
\frac{15,71cm}{\color{red}{2}}&=\frac{\color{red}{2}\cdot\pi\cdot r}{\color{red}{2}}\\
7,855 &= \pi\cdot r\\
\frac{7,855}{\color{red}{\pi}} &= \frac{\pi\cdot r}{\color{red}{\pi}}\\
2,5 &= r\\\\
\Rightarrow \text{Aire du disque}&=\pi \cdot \text{rayon}^2\\
&=\pi \cdot 2,5^2\\
&=\pi \cdot 6,25\\
&= 19,63\, cm^2\end{align}||
Les vidéos

Trouver le rayon d'un cercle

 

Trouver le diamètre d'un cercle

 

Trouver la circonférence d'un cercle

 
Les exercices
Les références