Mathématique m1486

L'aire d'une sphère et le volume d'une boule

​​​​​​​​Contrairement aux autres solides, l'aire d'une sphère ne peut pas être divisée en différentes ​parties comme l'aire latérale ou l'aire de la base. En fait, l'aire latérale et l'aire totale représentent la même surface, puisqu'il n'y pas de base.​ En ce qui concerne la boule, celle-ci correspond à l'espace délimité par la sphère.

En d'autres mots, on utilisera le mot «sphère» quand il sera question de superficie (aire) et le mot «boule» quand il sera question d'espace occupé (volume).

L'aire d'une sphère

Malgré qu'elle soit entièrement composée d'une seule surface courbe, il est possible de calculer la superficie de la sphère.

||A = 4 \cdot \pi \cdot r^2||
où |r = \text{mesure du rayon}|

De par sa surface courbe, on peut voir une certaine ressemblance entre cette formule et celle permettant de calculer l'aire d'un disque. ​Ainsi, une seule mesure est essentielle pour permettre l'utilisation de cette formule, soit la mesure du rayon.

Pour que toutes les balles de baseball utilisées dans la ligue majeure soient identiques, on les recouvre du même matériau.
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Selon les informations données, quelle quantité de matériau, en |\text{cm}^2|, doit-on utiliser pour recouvrir une balle?

1) Identifier le solide
Puisque c'est l'aire que l'on recherche, on fait référence à la sphère.

2) Appliquer la formule
||\begin{align} A &= 4 \cdot \pi \cdot r^2\\
&= 4 \cdot \pi \cdot 3,66^2\\
&\approx 168,33 \ \text{cm}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse
L'aire totale de la sphère est donc d'environ |168,33 \ \text{cm}^2|.

​Même si une seule mesure est nécessaire pour compléter les calculs, il est important de savoir que le rayon de la sphère est en fait la mesure du segment qui relie le centre de cette dernière à sa limite extérieure. Ainsi, le rayon n'est pas obligé d'être parfaitement horizontal ou vertical. De plus, d'autres dimensions peuvent être associées avec la mesure du rayon.

​Le rayon de la sphère peut être associé à sa largeur ou sa hauteur.
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Dans les deux cas, |\text{mesure de la largeur} = 2 \cdot r = \text{mesure de la hauteur}|.

​​En divisant la sphère en deux parties égales, on obtient un autre genre de solide avec des propriétés un peu différentes.

L'aire d'une demi-sphère fermée

Une demi-sphère fermée consiste en une sphère dont nous avons conservé seulement la moitié et dont nous avons couvert l'ouverture par un disque. Il est possible de déterminer l'aire de cette portion en additionnant l'aire de la demi-sphère et l'aire du disque formé par cette coupe.

||A = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r^2||

Une fois de plus, l'application concrète de cette formule demande une attention particulière quand à l'ordre des opérations à effect​uer. En d'autres mots, pour obtenir l’aire totale d’une demi-sphère fermée, il faut ajouter l’aire du disque avec la moitié de la surface de la sphère. ​

​Afin d'assurer une distribution uniforme de la chaleur dans une bouilloire de forme demi-sphérique, on veut la recouvrir de nichrome (alliage de nickel et de chrome). ​
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Quel sera le coût d'une telle opération s'il en coûte 0,09$ pour couvrir une surface de 1 cm2 avec du nichrome?

1) Identifier le solide
Dans le cas présent, on fait référence à une demi-sphère fermée.

2) Appliquer la formule
||\begin{align} A &= 2 \cdot \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r^2\\
&= 2 \cdot \pi \cdot 9^2 + \pi \cdot 9^2\\
&\approx 763,41 \ \text{cm}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse
Maintenant qu'on connait l'aire en |\text{cm}^2|, il suffit de la multiplier par le coût par |cm^2|:
||763,41 \cdot 0,09 \approx 68,71||.
Finalement, le coût de recouvrement sera de |68,71\ $|.

En outre, on peut s'intéresser à l'espace occupé par de tels solides. Dans ce cas, il sera question de boule et non plus de sphère.

Le volume d'une boule

Le volume d'une boule correspond à l'espace à l'intérieur de la sphère qui la délimite. Pour trouver son volume, il suffit d'appliquer cette formule:

||V = \frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{3}||
avec | r = \text{mesure du rayon}|

Une fois de plus, seule la mesure du rayon est nécessaire pour compléter la démarche.

Pour entretenir l'eau d'une piscine, une compagnie fabrique du chlore en granule en forme de boule.
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En supposant que les granules soient bien compactées pour que la perte d'espace soit négligeable, combien y en aura-t-il dans un récipient de 5 000 cm3 ?

1) Identifier le solide
Dans le contexte, il est clairement mentionné qu'il s'agit d'une boule.

2) Appliquer la formule
||\begin{align} V &= \frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{3}\\\\
&= \frac{4 \cdot \pi \cdot 0,1^3}{3}\\\\
&\approx 0,004 \ \text{cm}^3\end{align}||
3) Interpréter la réponse
Pour déterminer le nombre de granules, il ne reste qu'à faire la division suivante:
|| 5 000 \div 0,004 = 1 \ 250 \ 000 \ \text{granules}||.

Peu importe la valeur de l'exposant, il faut s'assurer de calculer la puissance qui lui est associée avant d'appliquer les autres opérations. En ce qui concerne le volume d'une demi-boule, il suffit simplement de calculer le volume de la boule entière pour ensuite diviser le résultat par deux. ​

Finalement, il ne faut pas oublier que la relation entre le rayon, la hauteur et la largeur d'une boule est la même que celle pour une sphère.

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Les exercices
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