Mathématique m1488

L'aire et le volume des cônes

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Faisant partie des corps ronds, les formules ​qui permettent de calculer l'aire et le volume du cône sont un peu particulière. Quand on jette un coup d'oeil à son développement, on décèle une certaine originalité de par l'utilisation d'un cercle et d'un secteur de disque.

L'aire de la base du cône

En ce qui concerne sa base, elle est formée d'un disque dont on connaît la formule de l'aire.

​||A_b = \pi \cdot r^2||
où |r = \text{mesure du rayon}|.

​Aussitôt que l'on peut déduire la mesure du rayon, il suffit d'appliquer cette formule pour déterminer la superficie de la base.

Afin de s'assurer qu'un espace de stationnement soit bien éclairé, détermine la superficie couverte par les rayons de lumière d'un lampadaire.
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1) Identifier la face concernée
Dans ce cas, la base est en fait un cercle

2) Appliquer la formule
||\begin{align} A_b &= \pi \cdot r^2\\
&= \pi \cdot (15 \div 2)^2\\
&\approx 176,71 \ \text{m}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse
La surface éclairée par le lampadaire à une superficie d'environ |176,71 \ \text{cm}^2|.​

​Même si la formule peut paraître simple à appliquer, il faut s'assurer d'avoir les bonnes mesures pour l'utiliser. Dans le cas présent, le |15\ \text{m}| faisait référence au diamètre et non au rayon. Pour obtenir la mesure voulue, il fallait diviser cette quantité par deux.

L'aire latérale du cône

En raison de son développement assez particulier, il peut paraître difficile de résumer le calcul de l'aire latérale du cône en une seule formule. Or, les différentes propriétés de ce dernier permettent de déduire la formule suivante:

||A_L = \pi \cdot r \cdot a||
où |\begin{align} r &= \text{mesure du rayon}\\
 a &= \text{mesure de l'apothème}\end{align}|

​​Pour une des rares fois, on utilise la mesure de l'apothème pour calculer la mesure d'une surface. Afin de démontrer le bien-fondé de sa présence, voici quelques explications.

​​ ​ ​
Démonstration de l'aire latérale du cône
Comme point de départ, on va se baser sur le développement d'un cône ainsi que sur les différents côtés remarquables.
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De ceffe façon, on peut faire différents liens avec les propriétés du cercle, des angles au centre et des secteurs d'un disque.

Dans ce cas, l'aire latérale du cône est en fait l'aire du secteur du disque créé avec le rayon |\color{red}{a}| que l'on peut représenter par la proportion suivante :
||\begin{align} \frac{\text{aire du secteur}}{\pi \color{red}{a}^2} &= \frac{\color{green}{x}^\circ}{360^\circ}\\\\
 \Rightarrow \text{aire du secteur} &= \frac{\pi \color{red}{a}^2 \color{green}{x}}{360}\end{align}||
Par ailleurs, on peut également exprimer la mesure de l'angle au centre selon l'arc de cercle qu'il définit. Par construction, cet arc de cercle correspond à la circonférence de la base ce qui permet de déduire que
||\begin{align} \frac{\color{green}{x}^\circ}{\text{​arc de cercle}} &= \frac{360^\circ}{\text{circonférence ayant} \ \color{red}{a} \ \text{comme rayon}} \\\\
\frac{\color{green}{x}^\circ}{2 \pi \color{blue}{r}} &= \frac{360^\circ}{2 \pi \color{red}{a}}\\\\
\color{green}{x} &= \frac{360 \cdot 2 \pi \color{blue}{r}}{2 \pi \color{red}{a}} \\\\
\color{green}{x} &= \frac{360 \color{blue}{r}}{\color{red}{a}}\end{align}||
Par substitution de l'expression algébrique associée à |\color{green}{x}|, on obtient,
||\begin{align} \text{aire du secteur}&= \frac{\pi \color{red}{a}^2 \color{green}{x}}{360^\circ}\\\\
&= \frac{\pi \color{red}{a}^2 (\frac{360 \color{blue}{r}}{\color{red}{a}})}{360}\\\\
&= \frac{\pi \color{blue}{r} \color{red}{a} 360}{360}\\\\
&= \pi \color{blue}{r} \color{red}{a}\end{align}||
Puisque l'aire du secteur est en fait l'aire latérale,
||A_L = \pi \color{blue}{r} \color{red}{a}||

​Bien entendu, cette démonstration servait à faire le pont entre les notions du cercle, celles du cône et celles de la formule de l'aire latérale. En outre, il est bien de savoir d'où vient la formule, mais il faut également savoir comment l'utiliser adéquatement.

Pour estimer la quantité de tissu à utiliser pour confectionner une robe, on peut avoir recours à la représentation du cône.
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En sachant que cette robe est confectionnée avec de la soie et que ce matériau coûte |12$ /\text{m}^2 |, combien devrait-on débourser pour acheter suffisament de tissu?

1) Identifier le solide
Pour cette robe, ce n'est pas toute la surface du cône qui est utilisée, mais seulement sa face latérale.

2) Appliquer la formule
||\begin{align} A_L &= \pi \cdot r \cdot a\\
&= \pi \cdot 0,7 \cdot 1,35\\
&\approx 2,97 \ \text{m}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse
Puisqu'il se vend |12$ / \text{m}^2|, on utilise la multiplication:
||2,97 \times 12 = 35,64$||.
Ainsi, on pourrait obtenir le tissu à un prix de |35,64$|.

​​Comme dans bien des cas où des surfaces courbes sont mises en contexte, il ne faut pas oublier que cet exemple présente une estimation et non une quantité exacte.​

L'aire totale du cône

À chaque fois qu'il est question d'aire totale, cela implique qu'il faut prendre en considération toutes les faces du solide et faire la somme de leur superficie respective.

||A_T = A_L + A_b||

​​Bien entendu, l'aire de la base n'est considérée qu'une seule fois puisqu'il n'y a qu'une seule figure qui sert de base dans un cône.

Au début des années 1973, un groupe de musique désormais légendaire du nom de «Kiss» a fait son entrée dans le métier. Pour se distinguer, les membres du groupe ont pris la décision de s'habiller d'une façon assez particulière. Entre autres, un des membres (à gauche de la photo) a décidé d'intégrer des pointes de forme conique à son costume.
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Pour les faire fabriquer, il a besoin de déterminer l'aire totale de chacun de ces ornements. Selon les mesures qui sont fournies, détermine cette aire totale.

1) Identifier les faces concernées
En fait, il est clairement mentionné que ce sont toutes les faces du cône qui sont à considérer.

2) Calculer l'aire de la base
||\begin{align} A_b &= \pi \cdot r^2\\
&= \pi \cdot (6 \div 2)^2\\
&\approx 28,27 \ \text{cm}^2\end{align}||
3) Calculer l'aire latérale
||\begin{align} A_L &= \pi \cdot r \cdot a\\
&= \pi \cdot (6 \div 2) \cdot 12,4\\
&\approx 116,87 \ \text{cm}^2\end{align}||
4) Calculer l'aire totale
||\begin{align} A_T &= A_L + A_b\\
&= 116,87 + 28,27\\
&= 145,14 \ \text{cm}^2\end{align}||
5) Interpréter la réponse
L'aire totale d'une pointe de son costume est d'environ |145,14 \ \text{cm}^2|.

​Même si c'était clairement mentionné, on pouvait déduire que c'était l'aire totale qu'il fallait calculer puisque la base est la surface utilisée pour fixer le pointe sur le costume. En cas d'incertitude, il est toujours bon de valider sa compréhension avec un enseignant ou un collègue.

Le volume du cône

Comme tous les solides en trois dimensions, il est possible de le «remplir» et de s'intéresser à l'espace disponible à l'intérieur de ce dernier. Pour chaque solide, il est possible d'y associer une formule afin de calculer son volume et le cône n'y fait pas exception.

||V = \frac{A_b \cdot h}{3}||
où |h = \text{mesure de la hauteur du cône}|

​Dans la vie de tous les jours, ce solide est souvent utilisé pour donner un design intéressant à des verres.

Dans un restaurant, on sert tous les breuvages dans des verres de même dimension.
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Plus précisément, ces verres ont un rayon d'une longueur de |7\ \text{cm}| et la section qui peut contenir le liquide à une profondeur de |8,5\ \text{cm}|.

Afin de bien fixer le prix des différents breuvages, détermine, en |\text{cm}^3|, le volume maximum de liquide que peut contenir un verre.

1) Identifier le solide
Il s'agit d'un cône dont l'apex pointe vers le bas.

2) Appliquer la formule
​||\begin{align} V &= \frac{A_b \cdot h}{3}\\\\
&= \frac{\pi \cdot 7^2 \cdot 8,5}{3}\\\\
&\approx 436,16 \ \text{cm}^3\end{align}||
3) Interpréter la réponse
Chaque verre de ce format pourra contenir un maximum de |436,16 \ \text{cm}^3| de liquide.

​Peu importe la nature du solide, les unités de volume sont toujours identifiées avec un exposant trois qu'on lit «cube»(ex: «cm3​» doit se lire «centimètre cu​be»).

Trouver la mesure de la hauteur ou de l'apothème du cône

​Malgré toutes les formules qui sont disponibles, il peut arriver que certaines données soient manquantes. Dans ce cas, il faut utiliser d'autres concepts mathématiques afin d'obtenir le résultat recherché. Plus précisément, la mesure de la hauteur et la mesure de l'apothème ne seront pas toujours directement données. Afin de les trouver, voici quelques pistes de solutions.

Trouver la mesure de la hauteur
​Dans le cas d'un cône droit​, on peut obtenir un triangle rectangle en traçant la hauteur issue de l'apex et rejoignant le centre de la base.
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Puisque la hauteur intercepte le centre de la base et qu'il s'agit d'un cône droit, la mesure de la cathète correspond la moitié de la mesure du diamètre.

En associant la mesure d'une cathète avec celle du rayon de la base, l'autre cathète avec celle de la hauteur et l'apothème avec celle de l'hypoténuse, on peut utiliser la relation de Pythagore:
||\begin{align}\color{green}{a}^2 + \color{red}{b}^2 &= \color{blue}{c}^2\\
\color{green}{5}^2 + \color{red}{b}^2 &= \color{blue}{15}^2\\
\color{red}{b}^2 &= 200\\
\color{red}{b} &\approx 14,14 \ \text{cm}\end{align}||
Trouver la mesure de l'apothème
Dans le cas d'un cône droit​, on peut obtenir un triangle rectangle en traçant la hauteur issue de l'apex et rejoignant le centre de la base.
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Puisque la hauteur intercepte le centre de la base et que c'est un cône droit, la mesure de la cathète correspond à la moitié de la mesure du diamètre.

En associant la mesure d'une cathète avec celle du rayon de la base, l'autre cathète avec celle de la hauteur et l'apothème avec celle de l'hypoténuse, on a assez d'informations pour utiliser la relation de Pythagore:
||\begin{align} \color{green}{a}^2 + \color{red}{b}^2 &= \color{blue}{c}^2\\
\color{green}{4}^2 + \color{red}{12}^2 &= \color{blue}{c}^2\\
160 &= \color{blue}{c}^2 \\
12,65 \ \text{cm} &​\approx \color{blue}{c} \end{align}||​​​

​​​Lorsqu'on utilise plusieurs concepts simultanément de cette façon, il faut faire attention pour ne pas s'y perdre dans l'utilisation des variables. Sur le cône, «|\color{blue}{a}|» fait référence à l'apothème, alors que dans la relation de Pythagore, c'est la variable «|c|» qui ​fait référence à ce segment. Bref, pour bien comprendre les deux exemples, l'utilisation des couleurs aide grandement à associer les nombres avec les segments qu'ils représentent.​

Une fois la distinction faite, il ne reste qu'à compléter la démarche avec un peu d'algèbre et d'opérations inverses.

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