Mathématique m1495

L'exponentiation de nombres naturels

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Même si on connait les propriétés et les définitions des exposants, il existe plusieurs façons de les appliquer en fonction de la base utilisée. On peut toujours s'en remettre à la définition des exposants et des racines​ afin de bien démarrer sa démarche. 

L'exposant est un nombre naturel

Dans cette section, on fait uniquement référence aux notations exponentielles dont l'exposant est un entier strictement positif. 

||a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \ \text{fois}}\\\\ \text{où }\ a \in \mathbb{N}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||

Ainsi, l'exposant fait référence au nombre de fois que l'on doit multiplier la base par elle-même. 

​Exemple 1
Quelle est la puissance de |7^5|?
||\begin{align} \color{red}{7}^\color{blue}{5} &= \underbrace{\color{red}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}}_{\color{blue}{5 \ \text{fois}​}}\\\\
&=16 \ 807 \end{align}||

​Exemple 2
Quelle est la puissance de |8^3|?
||\begin{align} \color{red}{8}^\color{blue}{3} &= \underbrace{\color{red}{8 \cdot 8 \cdot 8}}_{\color{blue}{3 \ \text{fois}​}}\\\\
&=512 \end{align}||

Par ailleurs, la notation exponentielle peut également être utilisée​ avec les expressions algébriques.

L'exponentiation d'expressions algébriques​ implique la notion d'algèbre et d'exponentiation. Ainsi, lorsqu'on effectue une addition ou une soustraction dans une telle notation, il est encore plus important de s'en remettre à la définition même de l'exponentiation:

||\begin{align} \color{red}{(x-3)}^\color{blue}{2} &= \underbrace{\color{red}{(x-3) \cdot (x-3)}}_{\color{blue}{2 \ \text{fois}​}}&&\text{développement selon la définition}\\\\
&= x^2-3x - 3x + 9&& \text{double distributivité}\\
&=x^2-6x+9 &&\text{regroupement des termes semblables}\end{align}||


L'exposant est un nombre entier négatif

Peu importe la nature de la base, l'exposant négatif aura toujours le même impact sur cette dernière: il faudra déterminer son inverse​.​​ 

Nombre naturel en écriture fractionnaire
|| a = \frac{a}{1}|| ||\text{où}\ a \in \mathbb{N}^*||

Définition
||\begin{align} a^{\text{-}n} &= \left(\frac{a}{1}\right)^{\text{-}n}\\ \\
&= \left(\frac{1}{a}\right)^n\end{align}​|| ||\text{où }\ {a,\ n} \in \mathbb{N}^*||

Ainsi, une base qui était initialement un nombre naturel deviendra un nombre rationnel​

​Exemple 1
Quelle est la puissance de |3^{\text{-}3}|?
||\begin{align} \color{red}{3}^\color{blue}{\text{-}3} &=\left(\frac{1}{\color{red}{3}}\right)^{\color{blue}{3}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\
&= \underbrace{\frac{1}{\color{red}{3}} \cdot \frac{1}{\color{red}{3}}\cdot \frac{1}{\color{red}{3}}}_{\color{blue}{3 \ \text{fois}​}}&& \text{définition de l'exponentiation}\\\\
&=\frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3}\\\\
 &= \frac{1}{27}\end{align}||

Exemple 2
Quelle est la puissance de |10^{\text{-}4}|?
||\begin{align} \color{red}{10}^\color{blue}{\text{-}4} &=\left(\frac{1}{\color{red}{10}}\right)^{\color{blue}{4}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\
&= \underbrace{\frac{1}{\color{red}{10}} \cdot \frac{1}{\color{red}{10}}\cdot \frac{1}{\color{red}{10}} \cdot \frac{1}{\color{red}{10}}}_{\color{blue}{4 \ \text{fois}​}}&& \text{définition de l'exponentiation}\\\\
&=\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}\\\\
 &= \frac{1}{10 \ 000}\end{align}||

​Pour bien comprendre la raison pour laquelle on doit inverser la valeur de la base lorsqu'elle est affectée par un exposant négatif, on peut se fier à la démarche suivante:
m1043i01.PNG
Ainsi, à chaque fois que l'exposant diminue de |\small 1|, on doit diviser le résultat par la valeur de la base, soit |\small 4|. Ainsi, lorsqu'on passe de |\small 0| à |\small -1|, on doit diviser |\small 1| par |\small 4| ce qui donne |\frac{1}{4}|.
En mettant cette puissance en relation avec la valeur de la base, on peut déduire que |\small 4| et |\frac{1}{4}| sont l'inverse l'un de l'autre.

En ce qui concerne l'écriture en notation exponentielle, il existe une notation plus particulière lorsque la base |\small 10| est utilisée.

​Plus précisément, l'écriture en base |\small 10| d'un nombre fait référence à son écriture en notation scientifique​.

L'exposant est un nombre fractionnaire

​Dans cette section, l'exponentiation à l'aide d'un nombre fractionnaire se transformera en écriture à l'aide d'une racine. 

||a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}|| ||\text{où}\ a \in \mathbb{N},\quad m \in \mathbb{Z}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||

Bien entendu, on peut avoir un exposant qui possède plus d'une caractéristique.

​Exemple 1
Quelle est la puissance de |16^{\frac{1}{2}}|?
||\begin{align} \color{red}{16}^{\frac{\color{magenta}{1}}{\color{blue}{2}}} &=\sqrt[\color{blue}{2}]{\color{red}{16}^\color{magenta}{1}} && \text{définition de l'exposant fractionnaire} \\
&= \sqrt{16} && \\
&= \pm 4\end{align}||

​Exemple 2
Quelle est la puissance de |8^{\frac{\text{-}2}{3}}|?
||\begin{align} \color{red}{8}^{\frac{\color{magenta}{\text{-}2}}{\color{blue}{3}}} &= \left(\frac{1}{\color{red}{8}}\right)^{\frac{\color{magenta}{2}}{\color{blue}{3}}}&& \text{définition de l'exposant négatif}\\\\
&=\sqrt[\color{blue}{3}]{\left(\frac{1}{\color{red}{8}}\right)^\color{magenta}{2}} && \text{définition de l'exposant fractionnaire} \\\\
&=\sqrt[\color{blue}{3}]{\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{8}} && \text{définition de l'exposant 2} \\\\
&= \sqrt[3]{\frac{1}{64}} && \\\\
&= \frac{1}{4}\end{align}||


Par définition de la racine carrée, la réponse obtenue, lorsqu'elle existe, peut être positive ou négative.

|\sqrt{25}| veut dire « quel nombre qui, multiplié par lui-même, va donner |\small 25|? »

Ainsi, on obtient deux résultats:  ||\begin{align}5 \cdot 5 &= 25\\\\ \text{ou}\\\\ (\text{-}5) \cdot (\text{-}5) &= 25\end{align}||Alors, ||\sqrt{25}= \pm 5||
Par contre, lorsqu'on travaille avec un contexte, on néglige souvent la réponse négative puisqu'on ne peut l'utiliser pour définir une longueur ou un temps par exemple. 
Les vidéos
Les exercices
Les références