Mathématique m1499

La rationalisation d'une fraction

La rationalisation est la transformation en nombre rationnel du dénominateur irrationnel d'une expression écrite sous forme fractionnaire. Pour ce faire, il suffit de multiplier l'expression fractionnaire par la fraction-unité appropriée.

Cas 1 : seulement un radical comme dénominateur

Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par le radical.

|\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}\times\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{2\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}|

|\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{22}}=\frac{1}{3\sqrt{11}}=\frac{1\cdot\sqrt{11}}{3\sqrt{11}\cdot\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}}{3\cdot11}=\frac{\sqrt{11}}{33}|

|\frac{x+2}{\sqrt{2}}=\frac{x+2}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\left(x+2\right)}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\left(x\right)+2\sqrt{2}}{2}|

Cas 2 : 2 termes au dénominateur

D'abord, on identifie le conjugué du dénominateur, c'est-à-dire la même expression dans laquelle on fait l'opération inverse. Ensuite, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué.

|\frac{4}{3+\sqrt{2}}=\frac{4}{3+\sqrt{2}}\times\frac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\left(3-\sqrt{2}\right)}{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}=\frac{12-4\sqrt{2}}{\left(9-2\right)}=\frac{12-4\sqrt{2}}{7}|

Lorsque l'on multiplie les deux dénominateurs, on multiplie deux binômes. Voici ce que cela donne:

|\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)=\left(3\cdot3\right)+\left(3\cdot-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}\cdot3\right)+\left(\sqrt{2}\cdot-\sqrt{2}\right)=|
|9-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2=9-2=7|

Les fiches suivantes peuvent offrir de bons compléments d'informations: 


Les vidéos
Les exercices
Les références