Mathématique m1500

Les lois des logarithmes

Pour que les lois suivantes soient vraies, on doit avoir |c,a, M, N \in ]0,+\infty[| et |n \in \mathbb{R}|.

1) Logarithme de 1 :

|\log_c 1 =0|

2) Logarithme dont l'argument est identique à la base :

|\log_c c =1|

3) Loi du logarithme d'une puissance : 

|\log_c c^n=n|

4) Loi du logarithme d’un produit :

|\log_c(M \cdot N) = \log_c M + \log_c N|

5) Loi du logarithme d’un quotient :

|\log_{c}\frac{M}{N}=\log_{c}M-log_{c}N|

6) Loi du logarithme fractionnaire :

|\log_{\frac{_{1}}{c}}M=-\log_{c}M|

7) Loi du logarithme d’une puissance :

|\log_c M^n = n \log_c M|

8) Loi du changement de base :

|\displaystyle \log_{c}M=\frac{\log_{a}M}{\log_{a}c}|

Remarque : Lors de la division, les 2 logarithmes doivent avoir la même base.


Simplifier l'expression suivante : |\log_2 8|

On sait qu'on peut exprimer le nombre 8 en fonction du nombre 2:
|\log_2 2^3|.

En appliquant la loi du logarithme d'une puissance, on arrive à l'expression suivante:
|3 \log_2 2| .

En appliquant la propriété 3) :
|\log_2 2 =1|.

Ainsi, |3 \log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3|.

Cette expression est égale à 3.

Décomposer l'expression suivante en une somme de logarithmes: |\log_{10} 15|.

On utilise le fait que : |15 = 3 \cdot 5|.

On utilise la loi du logarithme d'un produit pour décomposer l'expression:
|\log_{10} (3 \cdot 5)= \log_{10} 3 + \log_{10} 5|.

Comme 3 et 5 sont des nombres premiers, la décomposition est terminée.

Décomposer l'expression suivante en une différence de logarithmes, puis simplifier l'expression obtenue: |\log_{5}\frac{1}{4}|.

On utilise la loi du logarithme d'un quotient pour décomposer l'expression:
|\displaystyle \log_5 \frac{1}{4} = \log_5 1 - \log_5 4|.

On sait que le logarithme de 1 est égal à 0.
On obtient: |- \log_5 4|.

À l'aide d'une calculatrice, déterminer la valeur approximative de l'expression suivante : |\log_3 5|.

Il faudrait transformer cette expression afin d'obtenir un logarithme en base 10. Afin d'arriver à ce résultat, il faut utiliser la loi de changement de base.

On obtient : |\displaystyle \log_3 5 = \frac{\log_{10}5}{\log_{10} 3}|.

On peut calculer cette expression à l'aide d'une calculatrice.
On obtient: |\log_3 5 \approx 1,46|.

Remarque : La calculatrice permet de travailler en base 10, mais également en base |e|.

On peut donc utiliser le logarithme naturel :

|\displaystyle \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3}|.

Cette expression donne la même réponse, c'est-à-dire environ 1,46.

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