Mathématique m1510

Aide-mémoire - Quatrième secondaire - CST

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Voici un petit guide de préparation contenant toutes les notions abordées en quatrième secondaire dans la séquence CST. Pour expliquer le tout, chaque formule sera suivie​ d'un exemple et d'un lien qui mène à une fiche de notre bibliothèque virtuelle. 

Arithmétique et algèbre​ (fonctions)

Fonction de degré 1 (forme fonctionnelle)​

​|y = ax + b| où | a = \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}|

​​EXEMPLE

Avec les informations qui sont fournies dans le graphique ci-dessous, détermine l'équation de la droite sous sa forme fonctionnelle.

m1510i01.PNG
​ ​
​CALCULSEXPLICATIONS

​|a = \frac{2 - 4,4}{-0,5 - 0,5} = 2,4|

​Trouver​ la pente​ selon |\frac{\Delta y}{\Delta x}​|

​|f(x) = 2,4 x + b|
|\Rightarrow 2 = 2,4 \cdot (-0,5) + b|
|\Rightarrow b = 3,2|

​Trouver la valeur initiale (|b|) en substituant par un des points du graphique

L'équation de la droite est ​​|f(x) = 2,4 x + 3,2|.

​​

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​


Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​


Fonction polynomiale de second degré ​

​|y = ax^2| où la valeur de |a| est ​déterminée par substitution d'un point.

​ ​EXEMPLE

​ ​Avec les informations qui sont fournies dans le graphique ci-dessous, détermine l'équation de la parabole.​

m1510i02.PNG
​CALCULS​EXPLICATIONS

​|f(x)= a x^2|
|\Rightarrow -6,75 = a \cdot (-1,5)^2|
|\Rightarrow -3 = a |

​Substituer les valeurs de |x| et |y| par un point de la courbe pour trouver la valeur de |a|

L'équation de la parabole est ​​|f(x) = -3 x^2|.

Dans ce cas, |a \displaystyle \ne \frac{\Delta y}{\Delta x}|

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Fonction exponentielle​

​|y = a(1 ± c)^x| où |a =| la valeur initiale et |c =| % de variation en notation décimale.

​ ​EXEMPLE

​En 2005, la population des crapauds d'un étang s'élevait à 500. Pour différentes raisons, la population diminue de 5% à chaque année. Si le rythme se maintient, en quelle année y aura-t-il environ 368 crapauds? ​

CALCULSEXPLICATIONS

​|f(x) = a (1 \pm c)^x|
|f(x) = 500 (1 \pm c)^x|

​Remplacer |a| par la valeur initiale, soit le nombre de crapauds en 2005.

​|f(x) = 500 (1 \pm c)^x|
|\Rightarrow f(x)= 500 (1 - 0,95)^x|
|\Rightarrow f(x)= 500 (0,95)^x|

​Remplacer le |\pm| par un |-| puisque la population diminue et remplace |c = 1-5\text{​%} = 1- 0,05 = 0,95|

​|f(6) = 500 (0,95)^6|
|\Rightarrow ​f(6) \approx 368|

​En remplaçant |x| par différentes valeurs, on déduit ​que |x=6|.

​Avec |x=6|, cela implique que dans 6 ans, il y aura 368 crapauds. Puisque l'étude s'est déroulée en 2005, on en déduit que c'est en 2011 (2005 + 6) qu'il y aura environ 368 crapauds. 


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Fonction en escalier

Dans un tel graphique, les points pleins (|\bullet|) représentent des données qui sont incluses ​alors que les points vides (|\circ|)​ représentent des données qui ne sont pas incluses

​​​EXEMPLE

​Lors de l'ouverture du Centre Vidéotron à Québec, tous les Québécois ont eu l'opportunité de se procurer des billets afin d'aller le visiter. En théorie, la visite était d'une durée de deux​ heures, mais les gens avaient la possibilité de quitter l'édifice après une heure de visite. Ainsi, on peut modéliser cette situation selon le graphique suivant:

m1510i15.PNG

Selon le grap​hique ci-dessus, combien y avait-il de Québécois dans le Centre Vidéotron à 18h?

​CALCULS​EXPLICATIONS
m1510i16.PNG​Identifier 18h sur l'axe des |x|.
m1510i17.PNG​Sélectionner le point plein qui fait partie de la fonction à ce moment et associer sa hauteur sur l'axe des |y|.
​​Selon le graphique, on peut déduire qu'à 18h, il y avait 7 000 personnes qui étaient en train de visiter le Centre Vidéotron.​


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Fonction périodique

​Dans une fonction périodique, un cycle fait référence au motif qui se répète alors que la période​ est la durée du cycle selon l'axe des |x|.

​EXEMPLE

​De retour de vacance, Marie-Claude décide de se remettre en forme en faisant du vélo avec son groupe d'amies. ​Pour guider le groupe, un entraîneur fait le trajet avec eux et c'est lui qui décide de la vitesse à maintenir. Afin de préparer le groupe à la prochaine séance, l'entraîneur remet ce graphique à chacun des membres du groupe:

m1519i55.PNG

En sachant que l'entraînement consiste à répéter le même trajet pendant 45 minutes, Marie-Claude se demande pendant combien de minutes, au total, elle aura pédalé à une vitesse minimale de 16km/h?

​CALCULS​EXPLICATIONS
m1510i19.PNG​Identifier les endroits où la vitesse est de 16 km/h sur le premier cycle.
m1510i20.PNG​Identifier des points sur chacune des droites sur lesquelles se situe la vitesse minimale recherchée.
​|a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{24-12}{4-3} = 12|
Ainsi, |\Rightarrow y = 12x + b|
Par substitution de |x| et |y|, 
|24 = 12 \cdot 4 + b|
|\Rightarrow -24 = b|
Finalement, |\color{green}{y=12x - 24}|
​Trouver l'équation de |\color{green}{\text{la droite verte}}|. Par ailleurs, on utilise les points (3,12) et (4,24) puisqu'ils sont sur |\color{green}{\text{l​a droite verte}}|.
​​|16 = 12x - 24|
|\Rightarrow 40 = 12x|
|\Rightarrow \color{green}{3,33} \approx x|
​Remplacer le |y| par 16 pour trouver le temps, en minutes, du |\color{green}{\text{point vert}}|.
​​|a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{24-0}{4-6} = -12|
Ainsi, |\Rightarrow y = -12x + b|
Par substitution de |x| et |y|, 
|24 = -12 \cdot 4 + b|
|\Rightarrow 72 = b|
Finalement, |\color{blue}{y=-12x + 72}|
​Trouver l'équation de |\color{blue}{\text{la droite bleue}}|. Par ailleurs, on utilise les points (4,24) et (6,0) puisqu'ils sont sur |\color{blue}{\text{la droite bleue}}|.
​|16 = -12x + 72|
|\Rightarrow -56 = -12x|
|\Rightarrow \color{blue}{4,67} \approx x|
Remplacer le |y| par 16 pour trouver le temps en minute du |\color{blue}{\text{point bleu}}|.​
​|\color{blue}{4,67} - \color{green}{3,33} = \color{red}{1,34 \ \text{min}}|
​Déterminer la durée entre |\color{green}{\text{le point vert}}| et |\color{blue}{\text{le point bleu}}|.
​|6 - 0 = 6 \ \text{min}|​Déterminer la période du cycle qui est répété.
​|\frac{\text{durée totale du trajet}} {\text{durée d'un cycle}} = \text{nb de cycles}|
|\Rightarrow \frac{45}{6} = \text{nb de cycles}|
|\Rightarrow 7,5 = \text{nb de cycles}|
​Déterminer le nombre de cycles complets dans le trajet.
​|7,5| équivaut à 7 cycles complets (7 x 6 = 42 min.) et la moitié d'un cycle.
m1510i22.PNG 
Ainsi, l'intervalle de 1,34 minute se répête à sept reprises exactement. 
​Analyser le cycle incomplet pour déterminer si la portion répond à la question initiale (vitesse minimale de 16 km/h). 
​|\color{red}{\text{durée d'un cycle}} \times \text{nb de périodes} = \text{durée totale}|
|\color{red}{1,34} \times 7 = \text{durée totale}|
|9,38 = \text{durée totale}|​
​Déterminer la durée totale de l'intervalle analysé.​
​À la fin de son entraînement, Marie-Claude aura passé un total de 9,38​ minutes à pédaler à une vitesse d'au moins 16 km/h.​ ​

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​


Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​


Étude d'une fonction et ses caractéristiques

​​

Pour l'étude d'une fonction, ce sont toujours les mêmes critères qu'il faut analyser:
- le domaine : toutes les valeurs possibles de |x|
- le codomaine (l'image) : toutes les valeurs possibles de |y|
- les abscisses à l'origine : la ou les valeur(s) du |x| quand |y=0|
- l'ordonnée à l'origine : la valeur du |y| quand |x=0|
maximum : la plus grande valeur de |y|
- minimum : la plus petite valeur de |y|
croissance : quand le graphique ne «descend» pas
- décroissance : quand le graphique ne «monte» pas
- positive : portion du graphique qui est au-dessus ou égale à l'axe des |x|
- négative ​: portion du graphique qui est en-dessous ou égale à l'axe des |x|

​​EXEMPLE
​​En tant que comptable d'une grande compagnie, tu dois donner un compte rendu détaillé de l'évolution des profits au cours de la dernière année. Pour t'aider, voici le graphique des 12 derniers mois. ​
m1510i21.PNG 
Avant de préparer ton discours de présentation et afin de bien alimenter ton argumentation, tu dois faire l'étude complète du graphique.
​CALCULS​EXPLICATI​ONS
​Domaine: |[0, 12]|​​La plus petite valeur sur l'axe des |x| est 0 et la plus grande est 12.
​Image: |[-5, 20]|​La plus petite valeur sur l'axe des |y| est -5 et la plus grande est 20.
​Croissance: |[0, 4] \cup [9, 12]|En analysant les valeurs de |x|, ce sont les deux portions du graphique qui montent ou qui sont constantes. 
​Décroissance: |[4, 10]|​En analysant les valeurs de |x|, c'est la seule portion du graphique qui descend ou qui est constante.
​Maximum: |\left\{ 20 \right\}|​Selon les valeurs de |y|, c'est la plus grande valeur atteinte par le graphique.
​Minimum: |\left\{ -5 \right\}|​Selon les valeurs de |y|, c'est la plus petite valeur atteinte par le graphique.
​Zéros de fonctions: |(0,0) , (8,0) , (11,0)|​Ce sont les coordonnées des points où le graphique touche à l'axe des |x|.
​Ordonnée à l'origine: |(0,0)|​C'est la coordonnée du point où le graphique touche à l'axe des |y|.
​Positive: | [0,8] \cup [11,12]|​Selon les valeurs de |x|, ce sont les portions du graphique qui sont au-dessus ou égales à l'axe des |x|.
​Négative: | [8,11]|​​Selon les valeurs de |x|, c'est la portion du graphique qui est en​-dessous ou égale à l'axe des |x|.​


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Résoudre un système d'équations​ (comparaison)

​​

Pour résoudre un système d'équations par comparaison, on peut se fier aux étapes suivantes:
1) identifier les variables reliées aux inconnus
2) créer les équations selon la mise en situation
3) isoler la même variable ​pour chacune des équations
4) comparer les deux équations pour en former une nouvelle
5) résoudre cette nouvelle équation
6) remplacer la valeur de la variable dans une des équations de départ pour trouver la valeur de l'autre variable

​​​ ​EXEMPLE

​​​Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achète 4 cafés et 6 muffins pour 15,06$. Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de 11,97$. Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée?

​CALCULS​EXPLICATIONS

​|x| = coût pour un café ($)
|y| = coût pour un muffin ($)

​Identifier les inconnus à l'aide de variables

​|\color{blue}{4x + 6y = 15,06}|
|\color{red}{3x + 5y = 11,97}|

​Créer un système d'équations

​|y = \color{blue}{2,51 - \frac{4}{6}x}|
|y = \color{red}{2,394 - \frac{3}{5}x}|

​Transformer chacune des équations sous la forme fonctionnelle

​| \color{blue}{2,51 - \frac{4}{6}x} = \color{red}{2,394 -\frac{3}{5}x}|

​Comparer les deux équations

​​| \color{blue}{2,51 - \frac{4}{6}x} = \color{red}{2,394 - \frac{3}{5}x}​​|​
|\Rightarrow 2,51 - 2,394 = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{6}x|
|\Rightarrow 0,116 = \frac{1}{15}x|
|\Rightarrow 1,74 = x|

​Trouver la valeur de |x| en l'isolant avec les opérations inverses.

​|4x + 6y = 15,06|
|\Rightarrow 4\cdot (1,74) + 6y = 15,06|
|\Rightarrow y = 1,35|

​Substituer la valeur de |x| dans une des deux équations de départ pour trouver la valeur de |y|. 

​|6 \ \text{cafés} + 4\ \text{muffins} = ?|
|\Rightarrow 6x + 4y = ?|
|\Rightarrow 6 \cdot 1,74 + 4 \cdot 1,35 = ?|
|\Rightarrow 15,84 = ?|

​Calculer le montant recherché selon 6 cafés et 4 muffins.

​Il en coûtera |15,84 $|.

​Écrire la réponse finale.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

​ ​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Résoudre un système d'équations (substitution)​

​​

Pour résoudre une système d'équations par substitution, on peut se fier aux étapes suivantes:
1) identfier​ les variables reliées aux inconnus
2) créer les équations selon la mise en situation
3) isoler une variable dans une des deux équations
4) substituer cette même variable dans l'autre équation par l'expression algébrique qui lui est associée
5) résoudre ​cette nouvelle équation
6) remplacer​ la valeur de la variable dans une des équations de départ pour trouver la valeur de l'autre variable

​​​ ​EXEMPLE

​​​Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achète 4 cafés et 6 muffins pour 15,06$. Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de 11,97$. Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée?

​CALCULS​EXPLICATIONS

​|x| = coût pour un café ($)
|y| = coût pour un muffin ($)

​Identifier les inconnus à l'aide de variables

​|\color{blue}{4x + 6y = 15,06}|
|\color{red}{3x + 5y = 11,97}|

​Créer un système d'équations

|\color{blue}{4x + 6y = 15,06}|​
|\Rightarrow \color{blue}{y = 2,51 - \frac{4}{6}x}|

​Transformer une des deux équations sous la forme fonctionnelle

|\color{red}{3x + 5y = 11,97}|
|\Rightarrow \color{red}{3x + 5} \cdot \color{blue}{(2,51 - \frac{4}{6}x )} \color{red}{ = 11,97}|

​Substituer le |y| dans l'autre équation.

​|\color{red}{3x + 5} \cdot \color{blue}{(2,51 - \frac{4}{6}x)} \color{red}{= 11,97}|
|\Rightarrow 3x + 12,55 - \frac{20}{6}x = 11,97|
|\Rightarrow x = 1,74|

​Trouver la valeur de |x| en l'isolant avec les opérations inverses.

​|4x + 6y = 15,06|
|\Rightarrow 4\cdot (1,74) + 6y = 15,06|
|\Rightarrow y = 1,35|

​Substituer la valeur de |x| dans une des deux équations de départ pour trouver la valeur de |y|. 

​|6 \ \text{cafés} + 4\ \text{muffins} = ?|
|\Rightarrow 6x + 4y = ?|
|\Rightarrow 6 \cdot 1,74 + 4 \cdot 1,35 = ?|
|\Rightarrow 15,84 = ?|

​Calculer le montant recherché selon 6 cafés et 4 muffins.

​Il en coûtera |15,84 $|.

​Écrire la réponse finale.​


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Résoudre un système d'équations (réduction)​

Pour résoutre un système d'équation par réduction, on peut se fier aux étapes suivantes:
1) identifier les variables reliées aux inconnus
2) créer les équations​ selon la mise en situation
3) trouver des équations équivalentes pour obtenir le même coefficient d'une même variable
4) soustraire les deux équations 
5) isoler la variable restante pour trouver sa valeur
6) remplacer​ la valeur de la variable dans une des équations de départ pour trouver la valeur de l'autre variable

​​ ​EXEMPLE

​​​Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achète 4 cafés et 6 muffins pour 15,06$. Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de 11,97$. Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée?

​CALCULS​EXPLICATIONS

​|x| = coût pour un café ($)
|y| = coût pour un muffin ($)

​Identifier les inconnus et à l'aide de variables.

​|\color{blue}{4x + 6y = 15,06}|
|\color{red}{3x + 5y = 11,97}|

​Créer un système d'équations.

|3 \cdot \color{blue}{(4x + 6y)} = 3 \cdot \color{blue}{15,06}|​
|\Rightarrow \color{blue}{12x + 18y = 45,18}|
|4 \cdot \color{red}{(3x + 5y)} = 4 \cdot \color{red}{11,97)}​|
|\Rightarrow \color{red}{12x + 20y = 47,88}|

Trouver des équations équivalentes afin d'obtenir le même coefficient en |x| dans chacune des équations.

|\color{blue}{12x} - \color{red}{12x} = 0x|
|\color{blue}{18y} - \color{red}{20y} = -2y|
|\color{blue}{45,18} - \color{red}{47,88}​ = -2,70|

​Effectuer la réduction (soustraction) de chacun des termes semblables.

​|0x -2y = -2,70|
|\Rightarrow -2y = -2,70|

​Équation résultant de la réduction.

|-2y = -2,70|
|\Rightarrow y = 1,35|

​Trouver la valeur de |y| en l'isolant avec les opérations inverses.

​|4x + 6y = 15,06|
|\Rightarrow 4x + 6 \cdot (1,35) = 15,06|
|\Rightarrow x = 1,74|

​Substituer la valeur de |y| dans une des deux équations de départ pour trouver la valeur de |x|. 

​|6 \ \text{cafés} + 4\ \text{muffins} = ?|
|\Rightarrow 6x + 4y = ?|
|\Rightarrow 6 \cdot 1,74 + 4 \cdot 1,35 = ?|
|\Rightarrow 15,84 = ?|

​Calculer le montant recherché selon 6 cafés et 4 muffins.

​Il en coûtera |15,84 $|.

​Écrire la réponse finale.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Statistiques​​ ​

Écart moyen

​|EM = \displaystyle \frac{\sum \mid​ x_i - \overline {x} \mid }{n}|

avec |x_i| représentant chacune des données, |\sum| représentant la somme de chacune des différences et |n| représentant le nombre total de données.

​ ​EXEMPLE​

​Lors du dernier mois, 11 maisons ont été vendues dans un même quartier pour les montants​ suivants:

|\color{blue}{156\ 700$}| ; |\color{red}{158\ 900$}| ; 159 000$ ; 162 500$ ; 164 100$ ; 167 400$ ;
172 000$ ; 175 000$ ; 178 100$ ; 179 000$ ; 183 000$.

À des fins de statistiques pour les agens immobiliers, calcule l'écart moyen de cette distribution.

​CALCULS​EXPLICATIONS
​|\displaystyle \frac{156\ 700 + 158\ 900 + ... + 179\ 000 + 183\ 000}{11} = \color{green}{168\ 700}|

​Calculer la moyenne selon |\frac {\sum x_i}{n} |

​|\mid \color{blue}{156\ 700} - \color{green}{168\ 700} \mid = 12\ 000|
|\mid \color{red}{158\ 900} - \color{green}{168\ 700} \mid = 9\ 800|
​|\mid 159\ 000 - 168\ 700 \mid = 9\ 700|
|\mid 162\ 500 - 168\ 700 \mid = 6\ 200|
|\mid 164\ 100 - 168\ 700 \mid = 4\ 600|
|\mid 167\ 400 - 168\ 700 \mid = 1\ 300|
|\mid 172\ 000 - 168\ 700 \mid = 3\ 300|
|\mid 175\ 000 - 168\ 700 \mid = 6\ 300|
|\mid 178\ 100 - 168\ 700 \mid = 9\ 400|
|\mid 179\ 000 - 168\ 700 \mid = 10\ 300|
|\mid 183\ 000 - 168\ 700 \mid = 14\ 300|

​Calculer les écarts à la moyenne de chacune des données.

​|\frac{12\ 000+9\ 800+...+ 10\ 300 + 14\ 300}{11} \approx 7\ 927,27| 

​Calculer la moyenne des écarts à la moyenne.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Rang centile d'une donnée et diagramme à tige et à feuilles​​

​|R_{100}(x) = \displaystyle \frac{\text{nombre de données inférieures} + \frac{\text{nombre de données égales}}{2}}{\text{nombre total de données}} \times 100|

et on arrondit à l'entier supérieur si la réponse obtenue n'est pas entière.


EXEMPLE​​

​​Dans un processus pour combler un des différents postes de travail dans la fonction publique fédérale, tu dois passer une épreuve écrite. Voici la liste des résultats, en pourcentage, des différents participants:

m1510i21.PNG 

Pour s'assurer de garder les meilleurs candidats, seulement ceux qui ont un résultat qui est supérieur au |85^e| rang centile seront retenus. À la lumière de ces informations, est-ce que ta candidature sera retenue si tu as obtenu un résultat de 84%?

​CALCULS​EXPLICATIONS

​|R_{100}84 = \displaystyle \frac{\color{blue}{21} + \frac{\color{green}{3}}{2}}{\color{red}{33}} \times 100|

Selon la formule, ​|\color{blue}{21 = \text{nb de données inférieures}}|,

|\color{green}{3 = \text{nb de données égales}}| et

|\color{red}{33 = \text{nb total de données}}|

​|R_{100}84 \approx 68,18| 

Résultat obtenu selon la priorité des opérations des calculs en arithmétique​.​

​|R_{100}84 = 69|

Dans le cas où la réponse n'est pas entière, le rang centile correspond toujours à l'entier supérieur. ​

​Malgré ton résultat de 84%, ta candidature ne sera pas retenue pour la suite du processus étant donné que tu as un rang centile de 69.​​


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèq​ue virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Donnée selon un rang centile

​|\text{Rang de la donnée} = \displaystyle \frac{\text{rang centile}}{100} \times \text{nombre total de données}|

et on arrondit à l'unité inférieure si la réponse n'est pas entière.


EXEMPLE​​

​​Dans un processus pour combler un des différents postes de travail dans la fonction publique fédérale, les candidats doivent réaliser une épreuve écrite. Voici la liste des résultats, en pourcentage, des différents participants:

m1510i01.PNG

Pour s'assurer de garder les meilleurs candidats, seulement ceux qui ont un résultat qui est supérieur au |82^e| rang centile seront retenus. À la lumière de ces informations, à partir de quel résultat est-ce que les candidats seront retenus?

​CALCULS​EXPLICATIONS

|\text{Rang de la donnée}  = \frac{\color{blue}{82}}{100} \times \color{red}{33}|

Selon la formule, 

|\color{blue}{\text{rang centile} = 82}| et

|\color{red}{\text{nb total de données} = 33} |

|\text{Rang de la donnée} \approx  27,06|

Résultat obtenu selon la priorité des opérations des calculs en arithmétique.​

|\text{Rang de la donnée} = 27|

Dans le cas où la réponse n'est pas entière, le rang de la donnée correspond toujours à l'entier inférieur. ​

Puisque la donnée située au |27^e| rang est |92|, cela implique que tous ceux qui ont un résultat supérieur ou égal à |92 \%| seront retenus.  ​

​​​

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèq​ue virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Nuage de points

​Le nuage de points est utilisé pour estimer la corrélation qui existe entre deux variables. Pour avoir une idée plus précise de la corrélation, il faut calculer ​le coefficient de corrélation .​​​
m1510i58.PNG 


​​EXE​MPLE
​Depuis cinq ans, une nouvelle entreprise ne cesse d'augmenter ses profits et cherche à agrandir son centre de production. Par contre, elle veut s'assurer que la croissance économique de la comp​agnie soit positive et fortement régulière. Pour analyser le tout, voici le recensement des revenus commerciaux des 30 dernières semaines. 
m1510i26.PNG  

À ton avis, est-ce que la croissance économique de l'entreprise est positive et fortement régulière?
​CALCULS​EXPLICATIONS
m1510i59.PNG​Tracer ​le nuage de points.
​​​m1510i60.PNG​Comparer le nuage de points à ceux qui servent de référence.
Selon le nuage de points tracé, on peut conclure que les revenus sont positifs et moyennement réguliers. Puisqu'ils ne sont pas fortement réguliers, il serait préférable d'attendre avant d'agrandir.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèq​ue virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Coefficient de corrélation

Après avoir encadré le nuage de points et pris la mesure de la longueur (|L|) et la largeur (|l|) du rectangle:

|r = \pm (1 - \displaystyle \frac{l}{L})|


Pour ce qui est du signe, il sera donné en fonction du sens du nuage de points.


​​​ ​EXEMPLE

​​Afin de faire un bilan sur la réussite des étudiants qui s'inscrivent dans les établissements d'enseignements pour adultes, les membres de la direction s'intéressent à la corrélation entre l'absentéisme aux différents cours (en heures) et la moyenne générale (en %) à la fin de l'année scolaire. Pour bien analyser le tout, ils ont regroupé les données dans un nuage de points:
m1510i12.PNG
Quel est le coefficient de corrélation de cette étude?

​CALCULS​EXPLICATIONS
m1510i04.PNG

Tracer un rectangle, le plus petit possible, afin d'encadrer le nuage de points.

m1510i05.PNG

À l'aide d'une règle, mesurer la longueur (L) et la largeur(l) du rectangle. Dans ce cas,

| \color{blue}{\text{mesure de} \  L = 13,5 \ \text{cm}}|

|\color{red}{\text{mesure de } \ l = ​2,8 \ \text{cm}}|

​| r = \pm ( 1 - \frac{\color{red}{2,8}}{\color{blue}{13,5}})|

|\Rightarrow r \approx \pm 0,79| 

Selon la formule,

|r = \pm (1 - \displaystyle \frac{\color{red}{l}}{\color{blue}{L}})|​

​| r \approx - 0,79|

​Puisque le rectangle est orienté vers le bas, le coefficient de corrélation est négatif.

​​Le coefficient de corrélation entre le nombre d'heures d'absence et le résultat final en pourcentage est d'environ -0,79, ce qui signifie une corrélation moyenne.

​On peut également utiliser ce coefficient pour qualifier la corrélation:
m1510i61.PNG 

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèq​ue virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Droite de régression (médiane-médiane)​

​​

Pour trouver l'équation de la droite de régression selon la méthode médiane-médiane, on peut se fier aux étapes suivantes:
1) mettre les couples en ordre croissant selon la valeur des |x|
2) séparer les couples en trois groupes égaux, si possible
3) calculer la coordonnée médiane (|M_1, M_2, M_3|) de chacun des groupes
4) calculer la coordonnée moyenne (|P_1|) des trois points médians
5) calculer la valeur de la pente (|a|) avec |M_1| et |M_2|
6) calculer la valeur de la valeur initiale (|b|) avec |P_1|
7) écrire l'équation de la droite de régression sous la forme |y = ax + b|.

​​ ​EXEMPLE

​​Avant de construire une nouvelle tour à condo et d'en faire l'emménagement paysager, on s'intéresse à la hauteur des arbres afin qu'ils ne cachent pas la vue aux futurs résidents pour au moins les 20 prochaines années. Pour estimer la hauteur de ces derniers, on utilise la table de valeurs suivante:
m1510i06.PNG
À l'aide de ces informations, détermine à quelle hauteur devrait se situer les premiers balcons afin que la vue ne soit pas obstruée par les arbres.

​CALCULS​​EXPLIC​ATIONS
m1510i08.PNG

​Placer les couples en ordre croissant selon la valeur de la variable indépendante (|x|) en prenant soin de ne pas "défaire" les couples initiaux.

m1510i10.PNG

​Séparer les couples en trois groupes égaux. Si ce n'est pas possible, on s'assure que le premier et le dernier groupe aient le même nombre de données. 

|M_1 = (1 , 29)|

|M_2 = (\frac{2+3}{2}, \frac{54+58}{2}) = (2,5 ; 56)|

|M_3 = (4 , 90)|​

​Calculer la coordonnée médiane de chaque groupe.

​|\color{green}{P} = (\frac{1 + 2,5 + 4}{3} , \frac{29 + 56 + 90}{3}) = \color{green}{(2,5 ; 58,33)}|

​Calculer le point moyen en faisant la moyenne des |x| et des |y| des trois points médians.

​|\color{blue}{a} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{90 - 29}{4 - 1} \approx 20,33|

​Selon l'équation de la droite de régression |y = \color{blue}{a}x + \color{red}{b}|, déterminer la valeur de |\color{blue}{a}| selon les points |M_1| et |M_3|.

​|y = \color{blue}{20,33} x + \color{red}​​{b}|

|\Rightarrow \color{green}{58,33} = \color{blue}{20,33} \cdot \color{green}{2,5} + \color{red}{b}|

|\Rightarrow \color{red}{7,503 = b}|

Ainsi, |y = \color{blue}{20,33} x + \color{red}{7,503}|

​Trouver la valeur du paramètre |\color{red}{b}| en substituant |x| et |y| par les coordonnées du point |\color{green}{P}|.

Selon |y = \color{blue}{20,33} x + \color{red}{7,503}|

|\Rightarrow y = \color{blue}{20,33} \cdot 20 + \color{red}{7,503}|
|\Rightarrow y = 414,103|​

​Étant donné qu'on souhaite connaître la hauteur des arbres après 20 ans, on substitue |x| par 20.

​​Après 20 ans, les arbres auront une hauteur d'environ 414,103 cm. Ainsi, les premiers balcons doivent être d'​une hauteur minimale de 414,103 cm.​​ ​

​ ​ 

​Même si la situation et les données sont les mêmes, il est normal que la réponse finale varie selon la méthode utilisée (Méthode médiane-médiane ou Méthode de Mayer​).

Puisque ce sont des méthodes qui servent à estimer et non à prédire les résultats avec certitude, il se peut qu'il y ait une différence entre les deux résultats.

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèq​ue virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Droite de régression (Mayer)​

​​

Pour trouver l'équation de la droite de régression selon la méthode de Mayer, on peut se fier aux étapes suivantes:
1) mettre les couples en ordre croissant selon la valeur en |x|
2) séparer les couples en deux groupes égaux, si possible
3) calculer les points moyens (|P_1| et |P_2|) de chacun des groupes
4) utiliser ces points moyens pour trouver la valeur de la pente (|a|) et de la valeur initiale (|b|) 
5) écrire l'équation de la droite de régression sous la forme |y = ax + b|

​​ ​EXEMPLE

​​Avant de construire une nouvelle tour à condo et d'en faire l'emménagement paysager, on s'intéresse à la hauteur des arbres afin qu'ils ne cachent pas la vue aux futurs résidents pour au moins les 20 prochaines années. Pour estimer la hauteur de ces derniers, on utilise la table de valeurs suivante :

m1510i06.PNG 

À l'aide de ces information, détermine à quelle hauteur devrait se situer les premiers balcons afin que la vue ne soit pas obstruée par les arbres.

​CALCULS​​EXPLIC​ATIONS
m1510i08.PNG

​Il faut d'abord placer les couples en ordre croissant selon la valeur de la variable indépendante, sans défaire les couples initiaux.

m1510i14.PNG

​Si possible, séparer la distribution en deux groupes égaux.

|P_1 = (\frac{\color{red}{1+1+... +2+2}}{7}, \frac{\color{blue}{21+23+...+42+54}}{7}) \approx (\color{red}{1,43} ; \color{blue}{34,29})|

|P_2 = (\frac{\color{green}{​​3+3...+4+4}}{7}, \frac{58+59+...+90+97}{7}) \approx (\color{green}{3,43} ; 76)|  

​Calculer les points moyens de chacun des groupes.​

|a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{76 - \color{blue}{34,29}}{\color{green}{3,43} - \color{red}{1,43}} \approx 20,86|

Ainsi, 
|y = ax + b |
|\Rightarrow y = 20,86x + b|

Par substitution de la coordonnée de |P_1|:
|y = 20,86x + b |
|\Rightarrow 34,29 = 20,86 \cdot 1,43 + b|
|\Rightarrow 34,29 = 29,83 + b|
|\Rightarrow 4,46 = b|

Ainsi,
|y = ax + b |
|\Rightarrow y = 20,86x + 4,46|
Trouver l'équation de la droite de régression sous la forme |y = ax + b| selon les points |P_1| et |P_2|.
|y = 20,86x + 4,46 \Rightarrow y = 20,86 \cdot 20 +4,46|
|\Rightarrow y = 417,2 + 4,46|
|\Rightarrow y = 421,66|

​Étant donné qu'on souhaite connaître la hauteur des arbres après 20 ans, on substitue |x| par 20.

​Après 20 ans, les arbres auront une hauteur d'environ 421,66 cm. Ainsi, les premiers balcons doivent être d'une hautuer minimale de 421,66 cm.
​ ​​
​ ​

​Même si la situation et les données sont les mêmes, il est normal que la réponse finale varie selon la méthode utilisée (Méthode médiane-médiane​ ou Méthode de Mayer).

Puisque ce sont des méthodes qui servent à estimer et non à prédire les résultats avec certitude, il se peut qu'il y ait une différence entre les deux résultats.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèq​ue virtuelle.​


Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Géométrie (triangles et quadrilatères)​

Relations métriques dans le triangle rectangle

Selon le triangle rectangle qui suit, on peut déduire quatre équivalences.

m1509i01.PNG  

​1) |a^2 = m \cdot c|


2) |b^2 = n \cdot c|


3) |h^2 = m \cdot n|


4) |c \cdot h = a \cdot b |


​​ ​EXEMPLE
​​Afin de se distinguer des autres entrepreneurs, une compagnie de construction suggère des maisons avec des toits de différentes formes. Parmi ces choix, un a la forme suivante:
m1510i29.PNG 
Afin d'estimer les coûts de production, l'entrepreneur a besoin des deux mesures extérieures manquantes de ce triangle |(\overline {AB}, \overline {BC})|. Aide-le à les déterminer.
​CALCULS​EXPLIC​ATIONS
​|a = 6,5|
|m = 4,1|
|c \ (\overline {AB})= ?|
|b \ (\overline {BC})= ?|
​Associer toutes les mesures connues et recherchées à une des mesures du dessin de référence.
​|a^2 = m \cdot c|
|\Rightarrow 6,5^2 = 4,1 \cdot c|
​Choisir la formule pour laquelle on aura une seule inconnue.
​|6,5^2 = 4,1 \cdot c|
|\Rightarrow 42,25 = 4,1 \cdot c|
|\Rightarrow \frac{42,25}{\color{red}{4,1}} = \frac{4,1}{\color{red}{4,1}} \cdot c|
|\Rightarrow 10,3 \approx c|
​Résoudre l'équation.
​|6,5^2 + \overline {BC}^2 = 10,3^2|
|\Rightarrow 42,25 + \overline {BC}^2 \approx 106,09|
|\Rightarrow \overline {BC}^2 \approx 63,84|
|\Rightarrow \overline {BC} \approx 8|

​Appliquer la relation de Pythagore pour trouver la mesure de la cathète manquante (selon le |\color{green}{\text{grand triangle vert}}|).
​ ​Ainsi, |m \ \overline {AB} \approx 10,3 \ \text{m}| et |m \ \overline {BC} \approx 8 \ \text{m}|


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.

​ ​ Rapports trigonométriques dans un triangle rectangle

En considérant l'angle |\theta| comme référence, on a:

|\sin \theta = \displaystyle \frac{\text{mesure du côté opposé à }\ \theta}{\text{mesure de l'hypoténuse}}|

|\cos \theta = \displaystyle \frac{\text{mesure du côté adjacent à }\ \theta}{\text{mesure de l'hypoténuse}}|

|\tan \theta = \displaystyle \frac{\text{mesure du côté opposé à} \ \theta}{\text{mesure du côté adjacent à} \ \theta}| ​

​​ ​EXEMPLE POUR TROUVER UNE MESURE DE CÔTÉ MANQUANTE
​​Afin de s'assurer de respecter les normes du bâtiment, l'angle d'élévation des fermes de toit d'une maison doit être d'un minimum de |25^\circ|. Pour s'assurer de respecter cette contrainte, un fabriquant décide d'établir cet angle à |35^\circ|. Si on sait que la longueur de la ferme de toit est de 13 mètres, quelles seront les mesures des deux autres côtés de cette pièce de bois ?
m1510i38.PNG
​CALCULS​EXPLICATIONS
​|\sin \color{red}{35^\circ} = \displaystyle \frac{\color{red}{c}}{\color{green}{13}}|​Identifier le bon rapport trigonométrique à utiliser |(\sin \theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}})|.
​|\sin \color{red}{35^\circ} = \displaystyle \frac{\color{red}{c}}{\color{green}{13}}|
|\Rightarrow \sin \color{red}{35^\circ} \cdot \color{green}{13} = \color{red}{c}|
|\Rightarrow 7,46 \approx \color{red}{c}|
​Résoudre l'équation.
​|\cos \color{red}{35^\circ} = \displaystyle \frac{\color{blue}{b}}{\color{green}{13}}|​Identifier le bon rapport trigonométrique |(\cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}})|
​|\cos \color{red}{35^\circ} = \displaystyle \frac{\color{blue}{b}}{\color{green}{13}}|
|\Rightarrow \cos \color{red}{35^\circ} \cdot \color{green}{13} = \color{blue}{b}|
|\Rightarrow 10,65 \approx \color{blue}{b}|
​Résoudre l'équation
​ ​Ainsi, |\color{blue}{m \overline {AC}} \approx 10,65 \ \text{m}| et |\color{red}{m \overline {AB}} \approx 7,46 \ \text{m}|.​

​​ ​EXEMPLE POUR TROUVER UNE MESURE D'ANGLE MANQUANTE
​​​Afin de déterminer le trajet à suivre par un hélicoptère pour aller chercher des gens en détresse en forêt, on a triangulé la carte de la région avec l'emplacement actuel de l'hélicoptère, l'hôpital et les gens qui sont en détresse. 
m1510i33.PNG
Selon ce dessin, quelle orientation devrait suivre l'hélicoptère pour se rendre le plus rapidement possible aux gens en détresse? 
​CAL​CULS​EXPLICA​TIONS
​|\tan ? = \displaystyle \frac{\color{red}{18,5}}{\color{blue}{12}}|​Identifier le bon rapport trigonométrique à utiliser|(\tan \theta = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}})|.
​|\tan ? = \displaystyle \frac{\color{red}{18,5}}{\color{blue}{12}}|
|\tan ? \approx 1,54|
|? \approx 57^\circ|
​Résoudre l'équation.
​ ​L'angle d'orientation de l'hélicoptère devrait être de |57^\circ|.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Loi des sinus

Selon le triangle quelconque qui suit, on peut en déduire une série d'équivalences.

m1509i02.PNG  

​|\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \displaystyle \frac{b}{\sin B} = \displaystyle \frac{c}{\sin C}|

​ ​EXEMPLE POUR TROUVER UNE MESURE DE CÔTÉ MANQUANTE

​Lors de certaines festivités westerns, des courses de chevaux sont organisées pour animer le spectacle. Lors de ces courses, les cowboys doivent faire le tour de chacun des trois barils qui sont disposés en forme de triangle isocèle. 

m1510i34.PNG 

À l'aide des mesures données, quelle est la distance entre chacun des barils ? 

​CALCULS​EXPLICA​TIONS
m1510i35.PNG​Identifier les sommets et les arêtes du triangle.
m1510i37.PNG​Si possible, déduire d'autres mesures du triangle (somme des angles intérieurs d'un triangle et propriétés du triangle isocèle).
​| \displaystyle \frac{\color{green}{a}}{\sin 40^\circ} = \displaystyle \frac{\color{blue}{20}}{\sin \color{blue}{70^\circ}}|

|\Rightarrow \color{green}{a} = \displaystyle \frac {\color{blue}{20} \cdot \sin 40^\circ}{\sin \color{blue}{70^\circ}}|

|\Rightarrow \color{green}{a} \approx 13,68 \ \text{m}|
Appliquer la loi des sinus et isoler la variable.​
​Ainsi, |m \overline{AB} = m \overline {AC} = 20 \ \text{m}| et |m \overline {BC} \approx 13,68 \ \text{m}|

​​

​​ ​EXEMPLE POUR TROUVER UNE MESURE D'ANGLE MANQUANTE
​Afin d'assurer un aérodynamisme maximal, le profil de certains voitures de course ressemble à un triangle. 
m1510i40.PNG 
Afin que ces proportions soient conservées, quelle devrait être la mesure de l'angle qui se situe près de la roue arrière ?
​CALCULS​EXPLICATIONS
m1510i42.PNG​Identifier les sommets et les arêtes du triangle.
​|\displaystyle \frac{\color{blue}{1,18}}{\sin \color{blue}{15}} = \displaystyle \frac {\color{red}{3,39}}{\sin \color{red}{B}}|

|\Rightarrow \sin \color{red}{B} = \displaystyle \frac{\color{red}{3,39} \cdot \sin \color{blue}{15}}{\color{blue}{1,18}}|

|\Rightarrow \sin \color{red}{B} \approx 0,744|
Appliquer la loi des sinus et isoler le |\sin| de l'angle recherché.
​|\sin \color{red}{B} \approx 0,744|

|\Rightarrow \sin^{-1} \sin \color{red}{B} \approx \sin^{-1} 0,744|

|\Rightarrow \color{red}{B} \approx 48,1^\circ|
Calculer la valeur de la variable en effectuant |\sin^{-1}|.
​|\color{red}{B} \approx 180^\circ - 48,1^\circ|

|\Rightarrow \color{red}{B} \approx 131,9^\circ|
Déterminer la valeur de l'angle obtus. 
​ ​Dans cette situation, la mesure de l'angle est de |131,9^\circ|.


Quand on identifie le triangle, il est toujours essentiel de mettre

|\color{green}{\text{le côté a opposé à l'angle A}}|
 |\color{red}{\text{le côté b opposé à l'angle B}}| 
|\color{blue}{\text{le côté c opposé à l'angle C}}|. 
m1510i39.PNG 

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.

Formule de Héron

Selon le triangle quelconque qui suit, on peut calculer son aire en utilisant la formule ci-dessous.

m1509i04.PNG

|\text{Aire} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}| avec |p = \displaystyle \frac{(a + b + c)}{2}|


​​ ​EXEMPLE
​Afin de s'assurer d'un bon rapport qualité-prix, une banque veut calculer la surface du plancher couverte par le champ de vision d'une caméra de surveillance.
 
À l'aide des informations ci-dessus, détermine la superficie de cette région.
​CALCULS​EXPLICATIONS
m1510i47.PNG​Identifier les sommets et les arêtes du triangle.
​|p = \displaystyle \frac{\color{blue}{a} + \color{red}{b} + \color{green}{c}}{2}|

|\Rightarrow p = \displaystyle \frac{\color{blue}{22} + \color{red}{24} + \color{green}{21}}{2}|

|\Rightarrow p = 33,5 \ \text{m}| 
​Calculer la valeur du demi-périmètre «|p|» de la figure.
​|A = \sqrt{p \cdot (p - \color{blue}{a}) \cdot (p - \color{red}{b}) \cdot (p- \color{green}{c})}|
|\Rightarrow A = \sqrt{33,5 \cdot (33,5 - \color{blue}{22}) \cdot (33,5 - \color{red}{24}) \cdot (33,5 - \color{green}{21})}|
​Substituer les valeurs dans la formule pour calculer l'aire du triangle.
|​A = \sqrt{33,5 \cdot (33,5 - \color{blue}{22}) \cdot (33,5 - \color{red}{24}) \cdot (33,5 - \color{green}{21})}|
|\Rightarrow A = \sqrt{33,5 \cdot 11,5 \cdot 9,5 \cdot 12,5}|
|\Rightarrow A \approx 213,89 \ \text{m}^2|​
​Résoudre l'équation selon la priorité des opérations.
​​La superficie du plancher correspondant au champ de vision de la caméra est d'environ |213,89 \ \text{m}^2|.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulterla bibliothèque virtuelle.

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Conditions minimales d'isométrie dans les triangles

A - C - A: Deux triangles sont isométriques quand une paire de côtés homologues isométriques est incluse entre deux paires d'angles homologues isométriques.
C - A - C: Deux triangles sont isométriques quand une paire d'angles homologues isométriques est incluse entre deux paires de côtés homologues isométriques.
C - C - C: Deux triangles sont isométriques quand chacune des paires de côtés homologues sont isométriques.


​ ​EXEMPLE
​Dû à des problèmes de machinerie, les employés d'une compagnie de construction doivent monter eux-mêmes les fermes de toit de forme triangulaire afin de terminer la construction d'une maison. Or, ils doivent s'assurer qu'elles soient toutes identiques. 
m1510i56.PNG 
Avec les informations founies ci-dessus, démontre que ces deux constructions sont isométriques.
​AFFIRMATIONS​JUSTIF​ICATIONS
​|m \angle \color{red}{BAC} \cong m \angle \color{green}{EFG}| ​|m \angle \color{green}{EFG} = 180^\circ - 130^\circ - 17^\circ = 33^\circ = m \angle \color{red}{BAC}|
​|m \color{red}{\overline{AB}} \cong m \color{green}{\overline{EF}}|​Par hypothèse.
​|m \angle \color{red}{ABC} \cong m \angle \color{green}{DEF}|​Par hypothèse.

​​ ​Le |\Delta \color{red}{ABC} \cong \Delta \color{green}{DEF}| par la condition minimale de A-C-A.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulterla bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Conditions minimales de similitude dans les triangles

A  - A: Deux triangles sont semblables quand deux paires d'angles homologues sont isométriques. 
C - A - C: Deux triangles sont semblables quand une paire d'angles homologues isométriques est incluse entre deux paires de côtés homologues proportionnels.
C - C - C: Deux triangles sont semblables si les trois paires de côtés homologues ont toutes la même proportion.


​​EXEMPLES
​Dans le cadre d'une levée de fonds pour un organisme communautaire, la ville organise une course à pied à faire en famille. Par ailleurs, ils tiennent à ce que le trajet fait par les adultes soit semblable à celui des enfants.
m1510i57.PNG 
En tenant compte des informations données ci-dessus, démontre que les deux trajets sont semblables.
​AFFIRMATIONS​JUSTIFIC​ATIONS
​|m \color{green}{\overline{AC}} \sim m \color{blue}{\overline {DF}}|​|\displaystyle \frac{\color{blue}{3,5}}{\color{green}{1,4}} = \frac{5}{2}|
​|m \color{green}{\overline{BC}} \sim m \color{blue}{\overline {EF}}||\displaystyle \frac{\color{blue}{2}}{\color{green}{0,8}} = \frac{5}{2}|​
​|m \color{green}{\overline{AB}} \sim m \color{blue}{\overline {DE}}||\displaystyle \frac{\color{blue}{2,75}}{\color{green}{1,1}} = \frac{5}{2}|​
​​​​Ainsi, |\Delta \color{green}{ABC} \sim \Delta \color{blue}{DEF}| par la condition minimale C-C-C.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulterla bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Géométrie analytique​

​Distance entre deux points​​​

|\text{Distance} = \sqrt{(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2}|

avec |(x_1, y_1)| comme coordonnée du début du segment et |(x_2, y_2)| comme coordonnée de fin du segment.

​​

​​ ​EXEMPLE
​​Afin de déterminer la quantité d'essence qu'un avion doit avoir dans son réservoir pour faire un vol Montréal-Paris, on représente chacune de ces deux villes sur un plan cartésien gradué en kilomètre.
m1510i49.PNG
Quelle est la distance, en kilomètres, entre ces deux villes?
​CALCULS​EXPLICATIONS
​Montréal |= (\color{blue}{x_1}, \color{red}{y_1}) = (\color{blue}{512}, \color{red}{647})|
Paris | = (\color{green}{x_2}, y_2) = ( \color{green}{5936}, 1603)|
​Identifier les points |(x_1, y_1)| et |(x_2, y_2)|.
​|\text{Distance} = \sqrt{(y_2 - \color{red}{y_1})^2 + (\color{green}{x_2} - \color{blue}{x_1})^2}|
|\Rightarrow \text{Distance} = \sqrt{(1603 - \color{red}{647})^2 + (\color{green}{5936} - \color{blue}{512})^2}|
​Substituer les valeurs dans la formule.
|​\text{Distance} = \sqrt{(1603 - \color{red}{647})^2 + (\color{green}{5936} - \color{blue}{512})^2}|
|\Rightarrow \text{Distance} = \sqrt{ 956^2 + 5424^2}|
|\Rightarrow \text{Distance} \approx 5507,6 \ \text{km}|​
​Résoudre l'équation.
​ ​La distance entre Montréal et Paris est d'environ |5507,6 \ \text{km}|.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulterla bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Coordonnée d'un point de partage​

Soit |(x, y)| la coordonnée du point de partage recherchée,

| x = x_1 + \frac{a}{b} \cdot (x_2 - x_1)|
|y = y_1 + \frac{a}{b} \cdot (y_2 - y_1)|

avec |(x_1, y_1)| comme coordonnée du début du segment, |(x_2, y_2)| comme coordonnée de fin du segment et |\frac{a}{b} = | fraction en lien avec le partage du segment.


​​ ​EXEMPLE

​À chaque matin, tu dois te rendre à l'arrêt d'autobus pour attendre ton moyen de transport qui te reconduit à ton école. Afin que l'arrêt soit centralisé pour les autres élèves du coin, tu as remaqué qu'il partageait le segment de rue qui rejoint ta maison à ton école dans un rapport 1 : 4. 

m1510i52.PNG

En utilisant les informations disponibles, détermine la coordonnée de l'endroit où se situe ton arrêt d'autobus. 

​CALC​ULS​EXPLICATIONS

​Maison|= (\color{blue}{x_1}, \color{red}{y_1}) = (\color{blue}{4}, \color{red}{2})|
École | = (\color{green}{x_2}, y_2) = ( \color{green}{4,1 }; 1,9)|

​Identifier le point de départ et le point d'arrivée. 

​|1 : 4 = \displaystyle \frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}|

​Trouver la fraction |\frac{a}{b}| associée au rapport.

​|x = \color{blue}{x_1} + \frac{a}{b} \cdot (\color{green}{x_2} - \color{blue}{x_1})|
|\Rightarrow x = \color{blue}{4} + \frac{1}{5} \cdot (\color{green}{4,1} - \color{blue}{4})|
|\Rightarrow x = 4,02|

​Substituer les valeurs dans la formule et résoudre l'équation pour trouver la coordonnée en |x| du point de partage.

​|y = \color{red}{y_1} + \frac{a}{b} \cdot (y_2 - \color{red}{y_1})|
|\Rightarrow y = \color{red}{2} + \frac{1}{5} \cdot (1,9 - \color{red}{2})​|
|\Rightarrow y = 1,98|​

Substituer les valeurs dans la formule et résoudre l'équation pour trouver la coordonnée en |y| du point de partage.​

​ ​Ainsi, la coordonnée du point de partage |(x, y)| est |(4,02 ; 1,98)|.


Il est important de bien différencier les deux types de notations utilisées pour illustrer la portion associée à un point de partage pour ensuite utiliser la notation appropriée à la formule:

un rapport | = a:b \Rightarrow \displaystyle \frac{a}{a+b} = | une fraction


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.


Droites parallèles

​|y = a_1 x + b | et | y = a_2 x + b| sont parallèles lorsque |a_1 = a_2|

​​ ​EXEMPLE

​​Quelle est l'équation de la droite qui est parallèle à celle identifiée dans le plan cartésien ci-dessous et qui passe par le point C ?

m1510i54.PNG
​CALCULS​EXP​LICATIONS

​|a = \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0,7 - 2,5}{1,5 - 0} = -1,2|

​Trouver la pente de |\overline{AB}|.

​|y = -1,2x + b|
|\Rightarrow 2,25 = -1,2 \cdot 1,55 + b|
|\Rightarrow 2,25 = -1,86 + b|
|\Rightarrow 4,11 = b|

​Trouver l'équation de la droite passant par |C (1,55 ; 2,25)| sous la forme |y = ax + b|. Dans ce cas, la valeur de |a| de la droite |\overline{AB}| est la même que celle de l'équation recherchée puisque les droites sont parallèles.  

​​Finalement, l'équation de la droite qui est paralléle à |\overline{AB}| et qui passe par le point | C (1,55 ; 2,25)| est |y = -1,2x + 4,11|.

​​​​​

​Cette notion peut également être utilisée pour démontrer les différentes propriétés des figures planes​.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.

Droites perpendiculaires

|y = a_1 x + b| et |y = a_2 x + b| sont perpendiculaires lorsque |a_1 \cdot a_2 = -1|

​​ ​EXEMPLE

​​Quelle est l'équation de la droite qui est perpendiculaire à celle identifiée dans le plan cartésien ci-dessous et qui passe par le point C ?​ ​


​CALCULS​EXP​LICATIONS

​|a_1 = \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0,7 - 2,5}{1,5 - 0} = -1,2|​​

​Trouver la pente de |\overline{AB}|.

​|a_1\cdot a_2=-1|

|-1,2 \cdot a_2 = -1|
|\Rightarrow a_2 = \displaystyle \frac{-1}{-1,2}|
|\Rightarrow a_2 \approx 0,83|

​Trouver la valeur de |a_2| de la droite passant par |C| en utilisant la formule.

​|y = a_2 x + b|
|\Rightarrow y = 0,83 + b|
|\Rightarrow 2,25 = 0,83 \cdot 1,55 + b|
|\Rightarrow 2,25 \approx 1,29 + b|
|\Rightarrow 0,96 \approx b| 

​Trouver la règle de la droite passant par |C (1,55 ; 2,25)| sous la forme |y = a_2x + b|. 

​​​Finalement, l'équation de la droite qui est perpendiculaire à |\overline{AB}| et qui passe par le point |C(1,55 ; 2,25)| est |y=0,83x + 0,96|.


​Cette notion peut également être utilisée pour démontrer les différentes propriétés des figures planes​.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.

Les vidéos
Les exercices
Les références