Mathématique m1545

Méthodes pour trouver le PPCM et le PGCD simultanément

Pour sauver du temps, il est parfois utile de trouver le PPCM et le PGCD de deux ou plusieurs nombres simultanément. Voici deux méthodes permettant d'y arriver.

Méthode 1: le tableau de diviseurs

Cette méthode consiste à diviser simultanément par des nombres premiers les nombres dont on cherche le PPCM et le PGCD. Cette méthode s'avère pratique lorsque l'on cherche le PPCM et le PGCD entre deux grands nombres.

1. Tracer un tableau dont le titre de la première colonne sera Diviseurs premiers. Les titres des autres colonnes seront les nombres étudiés.

2. Tenter de diviser les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Si un des nombres ne se divise pas par le diviseur premier utilisé, on inscrit un trait dans la case appropriée. On poursuit les divisions jusqu'à ce qu'on obtienne |1| dans chaque colonne.

3. Calculer le PPCM en multipliant tous les diviseurs premiers de la première colonne.

4. Calculer le PGCD en multipliant seulement les diviseurs premiers des lignes pleines (les lignes sans trait).

Calcuer le PPCM et le PGCD de |40| et |48|.

1. Tracer un tableau dont le titre de la première colonne sera Diviseurs premiers. Les titres des autres colonnes seront les nombres étudiés.

Diviseurs
premiers
​|40|​|48|
​...​...​...


2. Tenter de diviser les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Si un des nombres ne se divise pas par le diviseur premier utilisé, on inscrit un trait dans la case appropriée. On poursuit les divisions jusqu'à ce qu'on obtienne |1| dans chaque colonne.

Diviseurs
premiers
​|40|​|48|
​|\color{blue}{2}|​|20|​|24|
​|\color{blue}{2}|​|10|​|12|
​|\color{blue}{2}||5​|​|6|
​|\color{blue}{2}||-|​​|3|
​|\color{blue}{3}|​|-|​|1|
​|\color{blue}{5}||1|​|-|​


3. Calculer le PPCM en multipliant tous les diviseurs premiers de la première colonne.
    |\begin{align} PPCM(40,48)&=\color{blue}{2}\times\color{blue}{2}\times \color{blue}{2}\times\color{blue}{2}\times \color{blue}{3}\times \color{blue}{5}\\&=240\end{align}|

4. Calculer le PGCD en multipliant seulement les diviseurs premiers des lignes pleines (les lignes sans trait).

Diviseurs
premiers
​|40|​|48|
​|\color{purple}{2}|​|20|​|24|
|\color{purple}{2}|​|10|​|12|
|\color{purple}{2}||5​|​|6|
​|\color{blue}{2}||-|​​|3|
​|\color{blue}{3}|​|-|​|1|
​|\color{blue}{5}||1|​|-|​

    |\begin{align} PGCD(40,48)&=\color{purple}{2}\times \color{purple}{2}\times \color{purple}{2}\\ &=8\end{align}|

Calcuer le PPCM et le PGCD de |12|, |54| et |210|.

1. Tracer un tableau dont le titre de la première colonne sera Diviseurs premiers. Les titres des autres colonnes seront les nombres étudiés.

Diviseurs
premiers
​|12|​|54|​|210|
​...​...​......​


2. Tenter de diviser les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Si un des nombres ne se divise pas par le diviseur premier utilisé, on inscrit un trait dans la case appropriée. On poursuit les divisions jusqu'à ce qu'on obtienne |1| dans chaque colonne.

Diviseurs
premiers
​|12|​|54|​|210|
​|\color{blue}{2}|​|6|​|27||105|​
​|\color{blue}{2}|​|3|​|-|​|-|
​|\color{blue}{3}||1​|​|9|​|35|
​|\color{blue}{3}||-|​​|3||-|​
​|\color{blue}{3}|​|-|​|1||-|​
​|\color{blue}{5}||-|​​|-|​|7|
​|\color{blue}{7}|​|-|​|-|​|1|


3. Calculer le PPCM en multipliant tous les diviseurs premiers de la première colonne.
    |\begin{align} PPCM(12,54,210)&=\color{blue}{2}\times\color{blue}{2}\times \color{blue}{3}\times\color{blue}{3}\times \color{blue}{3}\times \color{blue}{5}\times \color{blue}{7}\\&=3780\end{align}|

4. Calculer le PGCD en multipliant seulement les diviseurs premiers des lignes pleines (les lignes sans trait).

Diviseurs
premiers
​|12|​|54|​|210|
​|\color{purple}{2}|​|6|​|27||105|​
​|\color{blue}{2}|​|3|​|-|​|-|
​|\color{purple}{3}||1​|​|9|​|35|
​|\color{blue}{3}||-|​​|3||-|​
​|\color{blue}{3}|​|-|​|1||-|​
​|\color{blue}{5}||-|​​|-|​|7|
​|\color{blue}{7}|​|-|​|-|​|1|

    |\begin{align} PGCD(12,54,210)&=\color{purple}{2}\times \color{purple}{3}\\ &=6\end{align}|


Méthode 2: L'arbre des facteurs et le diagramme

Cette méthode consiste à construire l'arbre des facteurs pour chacun des nombres étudiés et à placer les facteurs premiers dans un diagramme de Venn afin de déterminer le PPCM et le PGCD. Cette méthode est très polyvalente.

1. Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers à l'aide de l'arbre de facteurs.

2. Tracer un diagramme de Venn comprenant un ensemble pour chaque nombre étudié et placer les facteurs premiers trouvés à l'étape 1 selon s'ils sont communs à tous les nombres, communs à certains nombres seulement ou uniques.

3. Calculer le PPCM en multipliant tous les facteurs premiers présents dans le diagramme de Venn.

4. Calculer le PGCD en multipliant seulement les facteurs premiers communs à tous les nombres.

Détermine le PPCM et le PGCD de |156| et |182|.

1. Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers à l'aide de l'arbre de facteurs.
m1545i1.png 
    On obtient,
    |\begin{align}156&=2\times 2\times 3\times 13\\
182&=2\times 7\times 13\end{align}|

2. Tracer un diagramme de Venn comprenant un ensemble pour chaque nombre étudié et placer les facteurs premiers trouvés à l'étape 1 selon s'ils sont communs à tous les nombres, communs à certains nombres seulement ou uniques.
    On a,
    |\begin{align}156&=\color{blue}{2}\times \color{green}{2}\times \color{green}{3}\times \color{blue}{13}\\
182&=\color{blue}{2}\times \color{green}{7}\times \color{blue}{13}\end{align}|

   On obtient le diagramme de Venn suivant.
m1545i3.png 
     
3. Calculer le PPCM en multipliant tous les facteurs premiers présents dans le diagramme de Venn.
    |\begin{align}PPCM(156,182)&=2\times 3\times 2\times 13\times 7\\ &=1092\end{align}|

4. Calculer le PGCD en multipliant seulement les facteurs premiers communs à tous les nombres.
    |\begin{align}PGCD(156,182)&=2\times 13\\ &=26\end{align}|

Calcule le PPCM et le PGCD de |72|, |90| et |315|.

1. Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers à l'aide de l'arbre de facteurs.
m1545i4.png
    On obtient,
    |\begin{align}72&=2\times 2\times 2\times 3\times 3\\
90&=2\times 3\times 3\times 5\\
315&=3\times 3\times 5\times 7\end{align}|

2. Tracer un diagramme de Venn comprenant un ensemble pour chaque nombre étudié et placer les facteurs premiers trouvés à l'étape 1 selon s'ils sont communs à tous les nombres, communs à certains nombres seulement ou uniques.
    On a,
    |\begin{align}72&=\color{purple}{2}\times \color{green}{2}\times \color{green}{2}\times \color{blue}{3}\times\color{blue}{3}\\
90&=\color{purple}{2}\times\color{blue}{3}\times\color{blue}{3}\times \color{purple}{5}\\
315&=\color{blue}{3}\times\color{blue}{3}\times \color{purple}{5}\times \color{green}{7}\end{align}|

    On obtient le diagramme de Venn suivant,
m1545i5.png 

3. Calculer le PPCM en multipliant tous les facteurs premiers présents dans le diagramme de Venn.
    |\begin{align}PPCM(72,90,315)&=2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5\times 7\\ &=2520\end{align}|

4. Calculer le PGCD en multipliant seulement les facteurs premiers communs à tous les nombres.
    |\begin{align}PGCD(72,90,315)&=3\times 3\\ &=9\end{align}|




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