Mathématique m1566

Trouver un dénominateur commun

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Lorsque l'on travaille avec des fractions, il est parfois plus pratique de mettre toutes les fractions sur le même dénominateur. En effet, trouver un dénominateur commun s'avère important lorsque l'on veut comparer des fractions, ordonner des fractions ou effectuer des opérations mathématiques comme l'addition et la soustraction de fractions. Dans chacun des cas, on fait référence à un dénominateur commun. Voici quelques méthodes permettant de trouver un dénominateur commun pour deux fractions ou plus.

​​​​

​​​En utilisant le PPCM

Pour trouver un dénominateur commun, on peut rechercher le PPCM des dénominateurs des fractions. Ce PPCM correspondra à un dénominateur commun.

1. Trouver le PPCM des dénominateurs des fractions avec la méthode de la liste des multiples ou avec la méthode de l'arbre des facteurs.

2. Trouver les fractions équivalentes en utilisant le dénominateur commun.

Pour se faire, on utilisera la méthode de la liste des multiples et celle de l'arbre des facteurs.

​​​​​Avec la liste des multiples

On peut trouver le PPCM ​en faisant la liste des multiples de chacun des dénominateurs. Le dénominateur commun sera le plus petit multiple qui sera commun dans les listes des multiples. Par la suite, on pourra trouver les fractions équivalentes​ de chacune des fractions en utilisant le dénominateur commun. 

Avec 2 fractions
Trouve un dénominateur commun à ces deux fractions:
||\frac{1}{12} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{8}||
1. Faire la liste des multiples de chaque dénominateur
Multiples de |12=\{12,\underbrace{\color{red}{24}}_\color{blue}{2^e \ \text{multiple}},36,48,...\}|

Multiples de |8=\{8,16,\underbrace{\color{red}{24}}_\color{green}{3^e \ \text{multiple}}​,32,40,...\}|

2. Trouver les fractions équivalentes

||\frac{1}{12}^\color{blue}{\times 2}_\color{blue}{\times 2}​ = \frac{2}{\color{red}{24}} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{8}^\color{green}{\times 3}_\color{green}{\times 3}​ = \frac{15}{\color{red}{24}}||

Avec 3 fractions
Trouve un dénominateur commun à ces trois fractions:
||\frac{1}{4} \qquad \frac{2}{3} \qquad \frac{3}{8}||
1. Faire la liste des multiples de chaque dénominateur
Multiples de |4=\{4,8,12,16,20,\underbrace{\color{red}{24}}_\color{blue}{6^e \ \text{multiple}}​,28,...\}|

Multiples de |3=\{3,6,9,12,15,18,21,\underbrace{\color{red}{24}}_\color{fuchsia}{8^e \ \text{multiple}},27,...\}|

Multiples de |8=\{8,16,\underbrace{\color{red}{24}}_\color{green}{3^e \ \text{multiple}}​,32,40,...\}|

2. Trouver les fractions équivalentes

||\frac{1}{4}^\color{blue}{\times 6}_\color{blue}{\times 6} = \frac{6}{\color{red}{24}}\  \qquad \frac{2}{3}^\color{fuchsia}{\times 8}_\color{fuchsia}{\times 8} = \frac{16}{\color{red}{24}}\  \qquad \frac{3}{8}^\color{green}{\times 3}_\color{green}{\times 3}​ = \frac{9}{\color{red}{24}}||

Pour trouver les fractions équivalentes, on peut utiliser la stratégie suivante.

Pour déterminer le nombre par lequel il faut multiplier le numérateur et le dénominateur afin d'obtenir la fraction équivalente, on peut se référer au rang du multiple commun pour chacun des dénominateurs.​​

​​​Avec l'arbre de facteurs

​​On peut trouver le PPCM à l'aide de l'arbre de facteurs de chaque dénominateur. Par la suite, il faudra trouver les fractions équivalentes de chacune des fractions. 

Avec 2 fractions
Trouve un dénominateur commun à ces deux fractions:
||\frac{7}{12} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{9}||
1. Trouver le PPCM selon l'arbre des facteurs de chacun des dénominateurs
En effectuant l'arbre des facteurs pour les deux dénominateurs, on obtient les factorisations premières suivantes. ||12=\color{blue}{2} \times \color{green}{2} \times \color{fuchsia}{3}\qquad \qquad 9=\color{fuchsia}{3} \times \color{orange}{3}||
Pour déterminer le PPCM, on peut multiplier tous les facteurs premiers qui sont différents avec un seul exemplaire de ceux qui sont identiques, comme ceci:||\begin{align}\text{PPCM}\{9,12\}&= \underbrace{\color{blue}{2}\times \color{green}{2} \times \color{fuchsia}{3}}_{\text{facteurs de}\ 12} \times \underbrace{\not\color{fuchsia}{3} \times \color{orange}{3}}_{\text{facteurs de} \ 9} \\​
&= \color{blue}{2}\times \color{green}{2} \times \color{fuchsia}{3} \times \color{orange}{3} \\ \\
&= \color{red}{36}\end{align}||2. Trouver les fractions équivalentes
||\frac{7}{12}^{\color{orange}{\times 3}}_{\color{orange}{\times 3}} = \frac{21}{\color{red}{36}} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{9}^{\color{blue}{\times 2}\color{green}{\times 2}}_{\color{blue}{\times 2}\color{green}{\times 2}} = \frac{20}{\color{red}{36}}||

Avec 3 fractions
Trouve un dénominateur commun à ces trois fractions:
||\frac{1}{10} \qquad \frac{3}{8} \qquad \frac{5}{6}||
1. Trouver le PPCM selon l'arbre des facteurs de chacun des dénominateurs
En effectuant l'arbre des facteurs pour les trois dénominateurs, on obtient les factorisations premières suivantes.||10=\color{blue}{2} \times \color{green}{5}\qquad \qquad 8=\color{blue}{2} \times \color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2}\qquad \qquad 6=\color{blue}{2} \times \color{purple}{3}||Pour déterminer le PPCM, on multiplie tous les facteurs premiers qui sont différents avec un seul exemplaire de ceux qui sont identiques. ||\begin{align} \text{PPCM}\{6,8,10\} &= \underbrace{\color{blue}{2} \times \color{green}{5}}_{\text{facteurs de}\ 10} \times \underbrace{\not\color{blue}{2} \times \color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2}}_{\text{facteurs de} \ 8}\times \underbrace{\not\color{blue}{2} \times \color{purple}{3}}_{\text{facteurs de} \ 6} \\
&= \color{blue}{2} \times \color{green}{5} \times \color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2} \times \color{purple}{3} \\ \\
&= \color{red}{120}\end{align}||
2. Trouver les fractions équivalentes
||\frac{1}{10}^{\color{fuchsia}{\times 2}\color{orange}{\times 2}\color{purple}{\times 3}}_{\color{fuchsia}{\times 2}\color{orange}{\times 2}\color{purple}{\times 3}} = \frac{12}{\color{red}{120}} \qquad \  \frac{3}{8}^{\color{green}{\times 5}\color{purple}{\times 3}}_{\color{green}{\times 5}\color{purple}{\times 3}} ​= \frac{45}{\color{red}{120}} \qquad \  \frac{5}{6}^{\color{green}{\times 5}\color{fuchsia}{\times 2}\color{orange}{\times 2}}_{\color{green}{\times 5}\color{fuchsia}{\times 2}\color{orange}{\times 2}​} = \frac{100}{\color{red}{120}}||
Pour trouver les fractions équivalentes, il existe un petit truc afin de savoir par quel nombre il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction.

Dans l'exemple ci-haut, pour déterminer le nombre par lequel on doit multiplier le numérateur et le dénominateur pour la fraction dont le dénominateur est |\small 10|, on utilise les facteurs du PPCM sans les facteurs de |\small 10| :
||\begin{align}\text{Dénominateur commun} &= \color{blue}{2} \times \color{green}{5} \times \color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2} \times \color{purple}{3}\\
\text{Facteurs de} \ 10 &= \color{blue}{2} \times \color{green}{5}​\end{align}||
Le nombre par lequel on doit multiplier le numérateur et le dénominateur est donc:
||\underbrace{\not\color{blue}{2} \times \not\color{green}{5}}_{\text{facteurs de} \ 10} \times \color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2} \times \color{purple}{3}=\color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2} \times \color{purple}{3}||
Par la suite, on répète le même raisonnement pour toutes les autres fractions.

​​​Avec la multiplication des dénominateurs

Pour trouver un dénominateur commun, on peut simplement multiplier tous les dénominateurs ensemble. Par la suite, il s'agit de trouver les fractions équivalentes​ de chacune des fractions en utilisant le dénominateur commun obtenu.

Par contre, le dénominateur commun ainsi obtenu est souvent d'une grande valeur.

Avec 2 fractions
Trouve un dénominateur commun à ces deux fractions:
||\frac{1}{\color{green}{12}} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{\color{blue}{8}}||
En multipliant |\color{green}{12}| et |\color{blue}{8}| on obtient un dénominateur commun qui est |\color{red}{96}|.
Ainsi, 
||\frac{1}{12}^\color{blue}{\times 8}_\color{blue}{\times 8} = \frac{8}{\color{red}{96}} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{8}^\color{green}{\times 12}_\color{green}{\times 12}​ = \frac{60}{\color{red}{96}}||

Avec 3 fractions
Transforme ces trois fractions sous un même dénominateur:
||\frac{1}{\color{blue}{4}} \qquad\  \frac{2}{\color{green}{3}} \qquad\  \frac{7}{\color{fuchsia}{9}}||
En multipliant |\color{blue}{4},\color{green}{3} \ \text{et} \ \color{fuchsia}{9}|, on obtient un dénominateur commun qui est |\color{red}{108}|.
Ainsi, 
||\frac{1}{4​}^{\color{green}{\times 3}\color{fuchsia}{\times 9}}_{\color{green}{\times 3}\color{fuchsia}{\times 9}} = \frac{27}{\color{red}{108}} \qquad \  \frac{2}{3}^{\color{blue}{\times 4}\color{fuchsia}{ \times 9}}_{\color{blue}{\times 4}\color{fuchsia}{ \times 9}} = \frac{72}{\color{red}{108}} \qquad\  \frac{7}{9}^{\color{blue}{\times 4}\color{green}{\times 3}}_{\color{blue}{\times 4}\color{green}{\times 3}}​​ = \frac{84}{\color{red}{108}}||

Pour trouver les fractions équivalentes, il s'agit de multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par les dénominateurs des autres fractions avec lesquelles on travaille. ​

​​​​Avec des fractions rationnelles

Lorsque les dénominateurs des fractions sont des expressions algébriques, la méthode pour déterminer un dénominateur commun est très similaire à celle de l'arbre des facteurs présentée plus haut.

​1. Factoriser et réduire chacune des fractions.

2. Déterminer le dénominateur commun.

3. Trouver les fractions équivalentes

De par sa similarité avec l'arbre des facteurs, on peut déduire qu'il y a une emphase qui est mise vers la factorisation. Ainsi, il est essentiel de maîtriser les différentes méthodes de factorisation d'un polynôme​.​​​​

Quel est le dénominateur commun des fractions suivantes:
||\frac{3x^2+6x}{x^2+5x+6} \ \ \text{et} \ \ \frac{2x-6}{6x^2+36x+54}||
​​1. Factoriser et réduire chacune des fractions
​||\begin{align} \small \frac{\color{blue}{3x^2+6x}}{\color{red}{x^2+5x+6}} &\Rightarrow \small \color{blue}{3x^2 + 6x} &&&& \small\color{red}{x^2+5x+6} \\ 
&= \small \color{blue}{3x(x+2)} && \small \text{mise en évidence} && \small\color{red}{(x+3)(x+2)} && \small \text{somme-produit}\\
\small \frac{\color{blue}{3x^2+6x}}{\color{red}{x^2+5x+6}} &​= \small \frac{\color{blue}{3x (x+2)}}{\color{red}{(x+3)(x+2)}} \\
&= \small \frac{\color{blue}{3x}}{\color{red}{(x+3)}} && \small \text{simplification}\\\\
\small \frac{\color{green}{2x-6}}{\color{orange}{6x^2+36x+54}} &\Rightarrow \small \color{green}{2x-6} &&&& \small\color{orange}{6x^2+36x+54} \\ 
&= \small \color{green}{2(x-3)} && \small \text{mise en évidence} && \small\color{orange}{6(x^2+6x+9)} && \small \text{mise en évidence}\\
&&&&& \small \color{orange}{6(x+3)(x+3)} && \small \text{carré parfait}\\
\small \frac{\color{green}{2x-6}}{\color{orange}{6x^2+36x+54}} &​= \small \frac{\color{green}{2(x-3)}}{\color{orange}{6(x+3)(x+3)}} \\
&= \small \frac{\color{green}{(x-3)}}{\color{orange}{3(x+3)(x+3)}} && \small \text{simplification} \end{align}||
2. Déterminer le dénominateur commun

Pour cette étape, on doit s'assurer que chaque élément de chacun des dénominateurs se retrouvent dans le dénominateur commun. Si une partie du premier dénominateur est identique ("jumeaux") à une partie du deuxième dénominateur, on ne conserve qu'un exemplaire de ces "jumeaux".
||\begin{align} \small\text{dénominateur} &= \small \color{red}{(x+3)} && \small\text{et} && \small \color{orange}{3(x+3)(x+3)} \\
\small \text{dénominateur commun} &= \small \underbrace{\color{red}{(x+3)}}_{\small\text{jumeaux}} \ \color{orange}{3} \ \underbrace{\color{orange}{(x+3)}}_{\small\text{jumeaux}} \ \color{orange}{(x+3)} && \small \text{mise en commun des dénominateurs}\\
&= \small\underbrace{\color{red}{(x+3)}}_{\small\text{1 exemplaire}}\ \small\color{orange}{3} \phantom{(x+3)} \color{orange}{(x+3)} && \small \text{élimine un des "jumeaux"} \\
&= \small 3 \ (x+3) \ (x+3) && \small \text{dénominateur commun} \end{align}||
3. Trouver les fractions équivalentes​

Finalement, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs des fractions initiales par les éléments manquants du dénominateur commun |\small 3 \ (x+3)  \ (x+3)|.
||\begin{align} \small \frac{\color{blue}{3x}}{\color{red}{(x+3)}}​ &\Rightarrow \small\frac{\color{blue}{3x}}{\underbrace{\color{red}{(x+3)}}_{\small\text{initiale}}}\cdot \frac{3(x+3)}{\underbrace{3 \ (x+3)}_{\small\text{manquantes}}} && \small\underbrace{\phantom{(}3\phantom​}_{\small\text{manquante}}\small\underbrace{(x+3)}_{\small\text{commune}}\ \ \small\underbrace{(x+3)}_{\small\text{manquante}} \\
&= \small\frac{9x^2+27x}{3 (x+3)(x+3)} \\\\
\small \frac{\color{green}{(x-3)}}{\color{orange}{3(x+3)(x+3)}} ​&\Rightarrow \small \frac{\color{green}{(x-3)}}{\underbrace{\color{orange}{3 \ (x+3) \ (x+3)}}_{\small\text{initiale}}} \cdot \underbrace{\phantom{\frac{(\small\text{rien})}{(\small\text{rien})}}}_{\small\text{manquante}} && \small\underbrace{3 \ (x+3) \ (x+3)}_{\small\text{communes}} \\
&=\small \frac{(x-3)}{3\ (x+3)\ (x+3)} \end{align}||​
Puisque la deuxième fraction initiale n'a aucun élément manquant, elle demeure inchangée.
Ainsi, 
||\begin{align}  \small \frac{3x^2+6x}{x^2+5x+6}&&& \text{et} && \small \frac{2x-6}{6x^2+36x+54}​ \\\\
\Rightarrow \small\frac{9x^2+27x}{3 (x+3)(x+3)} ​ &&& \text{et} && \small \frac{(x-3)}{3(x+3)(x+3)} \end{align}||​

Maintenant que les deux fractions ont un dénominateur commun, on pourrait les additionner ou les soustraire.​

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