Mathématique m1568

Définition et lois de la notation logarithmique

​Chaque opération mathématique possède son inverse. En utilisant l'inverse ou la réciproque d'une fonction, il est possible de résoudre presque tous les types d'équations. Dans le cas de la notation logarithmique, elle est la réciproque de la notation exponentielle. Ainsi, lorsque la variable que l'on cherche à isoler se situe à la position des exposants, on peut utiliser les logarithmes.

Malgré la liste impressionante de lois sur les logarithmes, cette dernière n'est pas exhaustive. En fait, ces lois sont celles qui sont généralement utilisées dans le domaine des finances.

Définition d'un logarithme

​|\color{red}{m} = \color{blue}{c}^{\color{green}{n}}|
​|\Leftrightarrow|
|log_\color{blue}{c} \ \color{red}{m} = \color{green}{n}|​
​|\small \text{avec}|
​|\small \text{avec}|
​|\color{blue}{c} : \small \text{base}|
|\color{blue}{c} : \small \text{base}|​
​|\color{red}{m} : \small \text{puissance}|
|\color{red}{m} : \small \text{argument}|​
​|\color{green}{n} : \small \text{exposant}|
​|\color{green}{n} : \small \text{logarithme}|

Concrètement, cette équation cherche à déterminer la valeur du logarithme |\color{green}{n}| qui agit comme exposant à la base |\color{blue}{c}| pour obtenir l'argument |\color{red}{m}|.

Concrètement, voici quelques exemples de lecture et de résolution d'une telle équation.

Exemple 1
||\begin{align}
log_\color{blue}{2} \ \color{red}{8} &\Rightarrow & \small \text{Quel} \ &\color{green}{ exposant} \ \small \text{doit-on donner à la} \ \color{blue}{base} \ \small \text{pour obtenir } \color{red}{l'argument} \ \small \text{?} \\
&\Rightarrow &\color{blue}{2}^\color{green}{?} &= \color{red}{8}\\
&\Rightarrow &\color{blue}{2}^\color{green}{?} &= \color{red}{2^3} \\
&\Rightarrow &\color{green}{?} &= 3 \end{align}||
Ainsi, la valeur du |log_\color{blue}{2} \ \color{red}{8}=\color{green}{3}|.
Exemple 2
||\begin{align}
log_\color{blue}{3} \ \color{red}{243} &\Rightarrow & \small \text{Quel} \ &\color{green}{ exposant} \ \small \text{doit-on donner à la} \ \color{blue}{base} \ \small \text{pour obtenir } \color{red}{l'argument} \ \small \text{?} \\
&\Rightarrow &\color{blue}{3}^\color{green}{?} &= \color{red}{243}\\
&\Rightarrow &\color{blue}{3}^\color{green}{?} &= \color{red}{3^5} \\
&\Rightarrow &\color{green}{?} &= 5 \end{align}||
Ainsi, la valeur du |log_\color{blue}{3} \ \color{red}{243}=\color{green}{5}|.
Exemple 3
||\begin{align}
log_\color{blue}{\frac{1}{4}} \ \color{red}{64} &\Rightarrow & \small \text{Quel} \ &\color{green}{ exposant} \ \small \text{doit-on donner à la} \ \color{blue}{base} \ \small \text{pour obtenir } \color{red}{l'argument} \ \small \text{?} \\
&\Rightarrow &\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\right)}^\color{green}{?} &= \color{red}{64}\\
&\Rightarrow &\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\right)}^\color{green}{?} &= \color{red}{4^3} \\
&\Rightarrow &\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\right)}^\color{green}{?} &= \left(\frac{1}{4}\right)^{\text{- }3} \\
&\Rightarrow &\color{green}{?} &= \text{-}3 \end{align}||
Ainsi, la valeur du |log_\color{blue}{\frac{1}{4}} \ \color{red}{64}=\color{green}{\text{-}3}|.

Les lois des logarithmes

​Pour les propriétés suivantes​, il est important de considérer que 
||\{m\} \in \mathbb{R}_+\quad \text{et}\quad \{c,n\} \in \mathbb{R}||.

​Dans les prochains encadrés, les lois seront présentées sous forme d'égalité. Par ailleurs, il est important de se rappeler qu'une égalité peut être lue de gauche vers la droite, mais également de droite vers la gauche.

Cette habileté à lire les égalités dans les deux sens sera mise de l'avant dans les prochaines sections.

Le logarithme de 1

Le calcul d'un logarithme dont l'argument est |1| est toujours |0|.
||log_c \ 1 = 0||
Ainsi,on peut utiliser cette propriété pour résoudre des équations logarithmiques.

||\begin{align}
log_\color{blue}{8} \ \color{red}{1} &\Rightarrow & \small \text{Quel} \ &\color{green}{ exposant} \ \small \text{doit-on donner à la} \ \color{blue}{base} \ \small \text{pour obtenir } \color{red}{l'argument} \ \small \text{?} \\
&\Rightarrow &\color{blue}{8}^\color{green}{?} &= \color{red}{1}\\
&\Rightarrow &\color{blue}{8}^\color{green}{0} &= \color{red}{1} \\
&\Rightarrow &\color{green}{?} &= 0 \end{align}||
Ainsi, la valeur du |log_\color{blue}{8} \ \color{red}{1}=\color{green}{0}|.
Fait à noter, cette propriété est vraie peu importe la valeur de la base. Si jamais les bases ont des valeurs différentes, il faudra privilégier l'utilisation des lois présentées plus bas.

Lorsque l'argument et la base sont équivalents

Le calcul d'un logarithme dont la base est équivalente à l'argument est |1|, si |c > 0| et |c \neq 0|.
||log_c \ c = 1||
Une fois de plus, cette propriété découle directement de la définition d'un logarithme et de son lien avec la notation exponentielle.

||\begin{align}
log_\color{blue}{12} \ \color{red}{12} &\Rightarrow & \small \text{Quel} \ &\color{green}{ exposant} \ \small \text{doit-on donner à la} \ \color{blue}{base} \ \small \text{pour obtenir } \color{red}{l'argument} \ \small \text{?} \\
&\Rightarrow &\color{blue}{12}^\color{green}{?} &= \color{red}{12}\\
&\Rightarrow &\color{blue}{12}^\color{green}{1} &= \color{red}{12} \\
&\Rightarrow &\color{green}{?} &= 1 \end{align}||
Ainsi, la valeur du |log_\color{blue}{12} \ \color{red}{12}=\color{green}{1}|.

Logarithme particulier

|log_c c^t = t|, si |c > 0| et |c \neq 0|

En effet, |t| est l'exposant qu'il faut attribuer à |c| pour obtenir |c^t|.

Quelle est la valeur de l'expression |log_5 5^3|?

|log_5 5^3 = 3|, car |5^3 = 5^3|

Nous pouvons aussi trouver la valeur de la dernière expression avec le logarithme d'une puissance.
|\begin{align} log_5 5^3 \ & = 3 \ log_5 5\\
\ & = 3 \cdot 1 \ (\small \text{lorsque l'argument et la base sont équivalents}) \\
\ & = 3 \end{align}|

Le logarithme d'une puissance

Lorsque l'argument d'un logarithme est affecté d'un exposant, cet exposant peut se transformer en coefficient du même logarithme.
|| log_c \ M^n = n \ log_c \ M||
De cette façon, il est plus facile de faire la différence entre les propriétés des notations exponentielles et logarithmiques.

Quelle est la valeur du |log_\color{blue}{7} \ \color{red}{2401}|?
||\begin{align}
&& log_\color{blue}{7} \ \color{red}{2401} &= log_\color{blue}{7} \ \color{red}{49^2} \\
&&&= 2 \ \underbrace{log_\color{blue}{7} \ \color{red}{49}} \\
&\Rightarrow && \small \text{Quel} \ \color{green}{ exposant} \ \small \text{doit-on donner à la} \ \color{blue}{base} \ \small \text{pour obtenir } \color{red}{l'argument} \ \small \text{?} \\
&\Rightarrow & \color{blue}{7}^\color{green}{?} &= \color{red}{49}\\
&& \color{blue}{7}^\color{green}{?} &= \color{red}{7^2} \\
&&\color{green}{?} &= 2 \\\\
&\Rightarrow & log_\color{blue}{7} \ \color{red}{2401} &=2 \ \underbrace{log_\color{blue}{7} \ \color{red}{49}} \\
&& &= 2 \cdot \color{green}{2} \\
&&&= 4\end{align}||

Le logarithme d'un produit ou d'un quotient

Produit
Si l'argument est représenté par une multiplication de deux termes, alors on obtient l'addition de deux notations logarithmiques.
||log_c \ (M \cdot N)  = log_c \ M + log_c \ N||

Quotient
Si l'argument est représenté par une division de deux termes, alors on obtient une soustraction de deux notations logarithmiques.
||log_c \ \left(\frac{M}{N}\right) = log_c \ M - log_c \ N||
Fait à noter, la valeur de la base ne change pas lorsque l'on utilise cette loi. De plus, l'ordre des arguments doit absolument être respecté dans le cas de la loi impliquant le quotient.

Exemple d'un produit
Quelle est la valeur du |log_\color{blue}{12} \ \color{red}{4} + log_\color{blue}{12} \ \color{red}{36}|?
||\begin{align}
&&log_\color{blue}{12} \ \color{red}{4} + log_\color{blue}{12} \ \color{red}{36} &= log_\color{blue}{12} \ \color{red}{4 \cdot 36} \\
&&&= log_\color{blue}{12} \ (\color{red}{144}) \\
&\Rightarrow && \small \text{Quel} \ \color{green}{ exposant} \ \small \text{doit-on donner à la} \ \color{blue}{base} \ \small \text{pour obtenir } \color{red}{l'argument} \ \small \text{?} \\
&\Rightarrow & \color{blue}{12}^\color{green}{?} &= \color{red}{144}\\
&& \color{blue}{12}^\color{green}{?} &= \color{red}{12^2} \end{align}||
Ainsi, la valeur du |log_\color{blue}{12} \ \color{red}{4} + log_\color{blue}{12} \ \color{red}{36}=\color{green}{2}|.

Exemple d'un quotient
Quelle est la valeur du |log_\color{blue}{2} \ \color{red}{320} - log_\color{blue}{2} \ \color{red}{5}|?
||\begin{align}
&&log_\color{blue}{2} \ \color{red}{320} - log_\color{blue}{2} \ \color{red}{5} &= log_\color{blue}{2} \ \left(\frac{\color{red}{320}}{\color{red}{5}}\right) \\
&&&= log_\color{blue}{2} \ (\color{red}{64}) \\
&\Rightarrow && \small \text{Quel} \ \color{green}{ exposant} \ \small \text{doit-on donner à la} \ \color{blue}{base} \ \small \text{pour obtenir } \color{red}{l'argument} \ \small \text{?} \\
&\Rightarrow & \color{blue}{2}^\color{green}{?} &= \color{red}{64}\\
&& \color{blue}{2}^\color{green}{?} &= \color{red}{2^6} \end{align}||
Ainsi, la valeur du |log_\color{blue}{2} \ \color{red}{320} - log_\color{blue}{2} \ \color{red}{5}=\color{green}{6}|.

Le changement de base

Le calcul du logarithme d'un argument est équivalent au quotient du logarithme de ce même argument et du logarithme de sa base à condition que les bases soient équivalentes.
|log_c \ M = \frac{log_a \ M}{log_a \ c}| où |m > 0, c > 0, c \neq 0, a > 0| et |a \neq 1^3|
Une fois de plus, l'ordre dans lequel les éléments sont présentés pour le quotient doit être respecté. Le logarithme de l'argument est placé au numérateur alors que celui de la base se situe au dénominateur.

Quelle est la valeur du |log_\color{blue}{16} \ \color{red}{128}|?
||\begin{align} &\phantom{doit log_2 \ 128 \ \Rightarrow} log_\color{blue}{16} \ \color{red}{128} = \frac{log_2 \ \color{red}{128}}{log_2 \ \color{blue}{16}} \\ \Rightarrow & \small \text{Quel} \ \small\text{ exposant}\ \small \text{doit} - \small\text{on donner} \ \small\text{à la} \ \small\text{base} \ \small \text{pour obtenir } \small\text{l'argument} \ \small \text{?} \\ &log_2 \ \color{red}{128} \Rightarrow 2^? =128 \phantom{\text{donner a la }}log_2 \ \color{blue}{16} \Rightarrow 2^? = 16\\ &\phantom{log_2 \ 128 \ \Rightarrow}2^? = 2^7 \phantom{\ \ \text{donner a la }log_2 \ \ 16 \Rightarrow} 2^? = 2^4\\ &\phantom{log_2 \ 128 \ \Rightarrow}? \ \ = 7 \phantom{\ \ \text{donner a la }log_2 \ \ 16 \Rightarrow}\ \ ? \ = 4\\ &\phantom{doit log_2 \ 128 \ \Rightarrow} log_\color{blue}{16} \ \color{red}{128} = \frac{log_2 \ \color{red}{128}}{log_2 \ \color{blue}{16}} \\ &\phantom{doit log_2 \ 128 \ \Rightarrow log_\color{blue}{16} \ \color{red}{128} }= \frac{7}{4} \end{align}||
Ainsi, la valeur du |log_\color{blue}{16} \ \color{red}{128}=\color{green}{\frac{7}{4}}|.


Malgré la base |2| utilisée dans l'exemple précédent, c'est généralement la base |10| qui est choisie puisque la majorité des calculatrices scientifiques sont programmées pour calculer des logarithmes en base |10| oule logarithme népérien, noté |ln|. Sur la calculatrice, on utilise la touche LOG pour la base |10| et la touche LN pour la base |e|.

Résolution d'équations impliquant ces lois

Comme les notations exponentielles et logarithmiques sont intimement liées, les lois présentées plus haut peuvent être utilisées pour résoudre les équations en lien avec ces deux notations.

Résolution d'une équation exponentielle

Dans le cas de l'équation exponentielle, la présence d'une variable à la position des exposants ajoute un défi dans sa résolution. Par contre, les propriétés et les procédures utilisées pour résoudre une équation de façon générale sont toujours applicables.

Quelle est la valeur de |x| dans l'équation:
|| 3245 = 2500 (1,056)^{4x}||
||\begin{align}
\frac{3245}{\color{red}{2500}} &= \frac{2500}{\color{red}{2500}} (1,056)^{4x} && \small\text{opération inverse} \\\\
1,298 &\ = 1,056^{4x} \\\\
log_{1,056} \ 1,298 &\ = 4x && \small \text{déf. du log} \\\\
\frac{log_{10} \ 1,298}{log_{10} \ 1,056} &\ = 4x && \small\text{changement de base} \\\\
\frac{4,787}{\color{red}{4}} &\approx \frac{4x}{\color{red}{4}} && \small\text{opération inverse} \\\\
1,197 &\approx x \end{align}||

Résolution d'une équation logarithmique

Au niveau de ce genre de résolution, il y a plus que la loi du changement de base qui est impliquée.

Quelle est la valeur de |x| dans l'équaiton
||2 \ log_4 \ x - log_4 \ (16x) = log _4 \ 9 + 1||
||\begin{align}
2 \ log_4 \ x - log_4 \ (16x) &= log_4 \ 9 + 1 \\
2 \log_4 \ x - (log_4 \ 16 + log_4 \ x) &= log _4 \ 9 + 1 && \small\text{log d'un produit} \\
2 \ log_4 \ x - (2 + log_4 \ x) &= log_4 \ 9 + 1 && \small\text{calcul du log} \\
2 \ log_4 \ x - 2 - log_4 \ x &=log _4 \ 9 + 1 && \small\text{distributivité} \\
\underbrace{2 \log_4 x - log_4 \ x} - 2 &= log_4 \ 9 + 1 && \small\text{termes semblables} \\
 log_4 \ x -2 \color{red}{+2} &= log_4 \ 9 +1 \color{red}{+2} && \small\text{opération inverse} \\
 log_4 \ x \color{red}{- log_4 \ 9} &= log_4 \ 9 \color{red}{- log_4 \ 9} + 3 && \small\text{opération inverse} \\
log_4 \ \left(\frac{x}{9}\right) &= 3 && \small\text{log d'un quotient} \\
4^3 &= \frac{x}{9} && \small\text{déf d'un log} \\
 64 \color{red}{\cdot 9} &= \frac{x}{9} \color{red}{\cdot 9} && \small\text{opération inverse} \\
 576 &= x \end{align}||

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