Physique p1025

Le rendement et l'avantage mécanique

Le rendement peut être défini comme étant l’efficacité de la machine simple ou encore le pourcentage de l’énergie fournie (travail fourni) qui sera réellement transférée à l’objet (travail utile).

Lorsqu’une machine simple est utilisée, une partie de l'énergie est transmise de l'utilisateur à la machine. Cette dernière la transmettra ensuite à un objet qui pourra alors être déplacé. En théorie, toute l’énergie que l’on transmet à une machine simple (travail fourni) sera transmise à l’objet (travail utile). En réalité toutefois, le frottement sera à l’origine de la transformation d’une partie de l’énergie en chaleur, ce qui se traduira par une perte d’énergie. 

Pour déterminer le rendement d'une machine simple, la formule suivante doit être utilisée:
|R = \displaystyle \frac {W_{u}}{W_{f}} \times 100|

|R| représente le pourcentage de rendement |\small \text {(%) }|
|W_{u}| représente le travail utile |\small \text {(J)}|
|W_{f}| représente le travail fourni |\small \text {(J)}|

En utilisant les équations du travail, la formule suivante peut également être utilisée:
|R = \displaystyle \frac {F_{r} \cdot \triangle x_{r}}{F_{m} \cdot \triangle x_{m}} \times 100|

|R| représente le pourcentage de rendement |\small \text {(%) }|
|F_{r}| représente la force résistante |\small \text {(N)}|
|\triangle x_{r}| représente le déplacement résistant |\small \text {(m)}|
|F_{m}| représente le travail moteur |\small \text {(N)}|
|\triangle x_{m}| représente le déplacement moteur |\small \text {(m)}|

On applique une force de |\small \text {75 N}| sur la poignée d’une manivelle d’un treuil pour remonter un seau du fond d’un puits. On tournera la manivelle de façon à ce que la main parcoure une distance de |\small \text {32 m}|.  Si le seau a un poids de |\small \text {275 N}| et que le puits a une profondeur de |\small \text {8 m}|, quel est le rendement du treuil ?

Voici les informations connues dans ce problème.
||\begin{align} F_r &= 275 \: \text {N} & x_r &= 8 \: \text {m}\\
F_m &= 75 \: \text {N} & x_m &= 32 \: \text {m}\\ \end{align}||
||\begin{align}  R = \displaystyle \frac {F_{r} \cdot \triangle x_{r}}{F_{m} \cdot \triangle x_{m}} \times 100
\quad \Rightarrow \quad
R&=\displaystyle \frac {275 \: \text {N} \cdot 8 \: \text {m}}{75 \: \text {N} \cdot 32 \: \text {m}} \times 100  \\
&= 92 \: \text {%} \end{align}||

Dans des situations où plusieurs forces sont appliquées, il est également possible de calculer le rendement à partir des forces exercées sur une machine simple.

La force motrice théorique |(F_{m_{théo}})| représente la force motrice minimale que l’on doit appliquer (sans frottement) sur la machine simple. 
La force motrice réelle |(F_{m_{réelle}})| représente la force motrice que l’on doit appliquer sur la machine simple en considérant les forces de frottement.

Pour calculer le rendement à partir des forces motrices, la formule suivante peut être utilisée:
|R = \displaystyle \frac {F_{m_{théo}}}{F_{m_{réelle}}} \times 100|

|R| représente le pourcentage de rendement |\small \text {(%)}|
|F_{m_{théo}}| représente la force motrice théorique |\small \text {(N)}|
|F_{m_{réelle}}| représente la force motrice réelle |\small \text {(N)}|

Lorsque les avantages mécaniques sont connus, la formule suivante peut être utilisée pour calculer le rendement:
|R = \displaystyle \frac {AM_{réel}}{AM_{théo}} \times 100|

|R| représente le pourcentage de rendement |\small \text {(%)}|
|AM_{réel}| représente l'avantage mécanique réel
|AM_{théo}| représente l'avantage mécanique théorique

Avantage mécanique (gain mécanique) théorique et réel

L'avantage mécanique |(AM)|, ou gain mécanique |(GM)|, est le rapport entre la grandeur de la force résistante et la grandeur de la force motrice.

L'avantage mécanique représente l'efficacité d'une machine simple: toute machine simple possède son propre avantage mécanique. Cependant, les forces de frottement influenceront cet avantage mécanique. C’est pourquoi il sera nécessaire de déterminer l’avantage mécanique théorique ou l’avantage mécanique réel.

L’avantage mécanique théorique |(AM_{théo})| est utilisé lorsque la machine simple n’est soumise à aucun frottement. 

Les rapports de déplacement ne sont pas soumis aux forces de frottement et sont, par conséquent, toujours considérés comme théoriques.
Pour calculer l'avantage mécanique théorique, la formule suivante peut être utilisée s'il n'y a aucun frottement:
|AM_{théo} = \displaystyle \frac {F_{r}}{F_{m}}|

|AM_{théo}| représente l'avantage mécanique théorique
|F_{r}| représente la force résistante |\small \text {(N)}|
|F_{m}| représente la force motrice |\small \text {(N)}|

La formule suivante peut être utilisée peu importe s'il y a du frottement ou non:
|AM_{théo} = \displaystyle \frac {\triangle x_{m}}{\triangle x_{r}}|

|AM_{théo}| représente l'avantage mécanique théorique
|\triangle x_{m}| représente le déplacement moteur |\small \text {(m)}|
|\triangle x_{r}| représente le déplacement résistant |\small \text {(m)}|

L’avantage mécanique réel |(AM_{réel})| est utilisé lorsque l’on considère les forces de frottement. 

On ne doit jamais l’utiliser pour calculer des déplacements, ceux-ci n’étant pas soumis au frottement.
Pour calculer l'avantage mécanique réel, la formule suivante peut être utilisée peu importe s'il y a du frottement ou non:
|AM_{réel} = \displaystyle \frac {F_{r}}{F_{m}}|

|AM_{réel}| représente l'avantage mécanique réel
|F_{r}| représente la force résistante |\small \text {(N)}|
|F_{m}| représente la force motrice |\small \text {(N)}|

Quels sont les avantages mécaniques théorique et réel pour le treuil utilisé dans l'exemple au haut de cette fiche?

Puisque le rendement du treuil n'est pas |\small \text {100  %}| (il est de |\small \text {92 %}|), le treuil est soumis à des forces de frottement. Il sera donc possible de calculer l’avantage mécanique réel à l’aide du rapport des forces.
||\begin{align} F_r &= 275 \: \text {N} &F_m &= 75 \: \text {N} \end{align}||
||\begin{align}  AM_{réel} = \displaystyle \frac {F_{r}}{F_{m}}
\quad \Rightarrow \quad
AM_{réel} &= \displaystyle \frac {275 \text { N}}{75 \text { N}}  \\
&= 3,6 \end{align}||
Pour calculer l’avantage mécanique théorique, il n’y aura pas d’autres choix que de faire le rapport des déplacements.
||\begin{align} x_r &= 8 \: \text {m} &x_m &= 32\: \text {m} \end{align}||
||\begin{align}  AM_{théo} = \frac {\triangle x_{m}}{\triangle x_{r}} \quad \Rightarrow \quad
AM_{théo} &= \displaystyle \frac {\text {32 m}}{\text {8 m}}  \\
&= 4  \end{align}||

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