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L'incertitude et les calculs d'incertitude

Cette section présente les incertitudes et les calculs d'incertitude à faire dans un laboratoire. Toutefois, le contenu exigé peut varier selon la méthode d'enseignement privilégiée ou le niveau scolaire de l'élève.

L'incertitude représente la marge d'erreur associée aux valeurs mesurées ou déterminées lors d'une expérience. Dans toute expérimentation, la prise de mesure comporte une part d’imprécision. La lecture de la mesure qui est effectuée en laboratoire est toujours la plus précise dans les circonstances. Toutefois, l'incertitude permet de décrire la dispersion de la valeur, soit l'intervalle dans laquelle la valeur exacte se situe.
L’incertitude peut être associée à l’instrument de mesure utilisé, au manque de rigueur dont fait preuve celui ou celle qui prend la mesure ou à la difficulté d’interpréter une mesure sur une échelle donnée.

L'incertitude, qu'elle soit absolue ou relative, s'écrit toujours avec un seul chiffre significatif.

L’incertitude absolue

L’incertitude absolue est l’erreur maximale que l’on peut effectuer en déterminant une mesure sur un appareil.
Tout résultat expérimental se situe entre une valeur minimale et une valeur maximale. Ce résultat, qu’on peut appeler |x|, est donc situé entre une valeur minimale appelée |x_{min}| et une valeur maximale |x_{max}|. On pourrait donc décrire l'intervalle des valeurs possibles pour la mesure |x| comme étant |\left[x_{min}, \: x_{max}\right]|.

Afin de simplifier l'écriture de l'incertitude, on écrit la mesure avec son incertitude de la façon suivante: |x \pm \Delta x|.

Une règle est utilisée pour mesurer un livre. La mesure obtenue, avec son incertitude absolue, est |(21,90 \pm 0,05) \: \text {cm}|. Ceci signifie que la plus petite valeur que le livre pourrait avoir |\left( x_{min} \right)| serait |21,85 \: \text {cm}|, alors que la plus grande valeur |\left( x_{max} \right)| serait |21,95 \: \text {cm}|.Le résultat expérimental permet d'obtenir une valeur |x|, qui est la meilleure estimation possible du résultat de la lecture, et une valeur |\Delta x|, qui représente l’incertitude absolue associée à cette valeur.

Comment déterminer l'incertitude absolue

Cas 1: les instruments de mesure analogiques

Les instruments de mesure analogiques sont des appareils qui sont équipés d'une aiguille précisant la valeur de la grandeur mesurée sur une échelle, ou sont équipés d'une graduation qui indique la valeur de la grandeur mesurée. Un voltmètre à aiguille, un cylindre gradué ou un thermomètre à alcool sont tous des instruments analogiques, car ils sont tous formés d'échelles sur lesquelles une lecture doit être effectuée pour faire la lecture de la valeur de la grandeur mesurée.

L'incertitude de lecture associée à un instrument de mesure analogique correspond à la moitié de la plus petite graduation de l'instrument.

L'incertitude absolue d'une règle graduée en millimètres est donc: |\displaystyle \frac {1 \: \text {mm}}{2} = 0,5 \: \text {mm}|.
L'incertitude pourrait également être calculée en centimètres: |\displaystyle \frac {0,1 \: \text {cm}}{2} = 0,05 \: \text {cm}|

L'incertitude absolue d'un thermomètre à alcool dont la plus petite graduation est le degré serait : |\displaystyle \frac {1 \: ^{\circ}\text {C}}{2} = 0,5 \: ^{\circ}\text {C}|.

Cas 2: les instruments de mesure numériques

Les instruments de mesure numériques sont des appareils qui donnent directement la lecture sous forme de valeur numérique. Un multimètre et un chronomètre sont des exemples d'instruments numériques, car ces appareils permettent d'obtenir une lecture directement en observant l'appareil.

L'incertitude de lecture associée à un instrument de mesure numérique correspond à l'équivalent d'une unité de la plus petite graduation de l'instrument.

L'incertitude absolue d'un chronomètre précis au centième de seconde près sera un centième de seconde |\left( {0,01 \: \text {s}}\right)|.
L'incertitude absolue d'un multimètre mesurant la résistance d'un résistor en étant précis à l'unité près sera d'un ohm |\left( {1 \: \Omega} \right)|.

Cas 3: les valeurs théoriques

L'incertitude associée à une valeur théorique correspond à l'équivalent d'une unité sur le dernier chiffre.

Puisque la température d'ébullition de l'eau est |100 \: ^{\circ} \text {C}|, l'incertitude sera de  |\pm 1 \: ^{\circ} \text {C}|.

Sachant que la masse volumique de l'eau est |1,00 \: \text {g/ml}|, l'incertitude sera |\pm 0,01 \: \text {g/ml}|.

Cas particuliers d’évaluation de l’incertitude absolue sur des mesures effectuées en laboratoire

Il arrive que l’on doive ajouter à l’incertitude absolue d’un instrument l'incertitude à la mesure par l’observateur. Dans ces cas, l’incertitude reliée à la mesure est souvent égale à la somme des incertitudes sur chaque lecture.

  • L’effet de parallaxe: Lorsque l’on doit faire correspondre deux lignes pour interpréter une mesure, comme l'aiguille d'un appareil analogique et la graduation située en-dessous de cette aiguille, la lecture peut varier d’un observateur à l’autre selon la position de l’œil vis-à-vis de ces lignes.
  • Le temps de réflexe: Il existe une incertitude reliée aux réflexes de l’observateur. Par exemple, si une personne doit chronométrer le temps de chute d’un objet, il faut considérer le délai entre l’arrivée véritable de l’objet au sol et le moment où le pouce enfonce le bouton du chronomètre.
  • Le ménisque: La mesure du volume d’un liquide doit toujours tenir compte d’un phénomène particulier, soit la présence d'une ligne courbe formé par le liquide dans le cylindre gradué. Cette courbure, qu’on appelle ménisque, peut être de forme concave ou convexe. La lecture du volume comporte donc une certaine forme d’incertitude. Pour la diminuer, il est important de bien aligner l’œil avec le ménisque en le plaçant à la même hauteur.
  • Les mesures données par deux lectures: Lorsqu'on utilise une règle, il faut considérer l'incertitude à l'endroit où la mesure est prise sur la règle, mais également l'incertitude au zéro, soit à l'endroit où la règle a été placée pour prendre la mesure. Dans ces cas, il est préférable de multiplier par deux l'incertitude sur la lecture.
  • Les lectures du zéro: Il existe une incertitude sur la lecture du zéro, puisqu'il faut faire cette lecture de la même manière que celles que l'on effectuerait si elles n'étaient pas au point zéro.

L’incertitude relative

L'incertitude relative est le rapport entre l'incertitude absolue et la mesure. Ce rapport est exprimé en pourcentage.

Pour calculer l'incertitude relative, il est important de déterminer l'incertitude absolue sur l'appareil. L'avantage de calculer l'incertitude relative est de comparer la précision de différentes mesures. La mesure la plus précise est celle dont l'incertitude relative est la plus faible.

|\text {Incertitude relative} = \displaystyle \frac{\text {Incertitude absolue}}{\text {Valeur mesurée}}\times \text {100}|

Quelle est l'incertitude relative sur une mesure prise avec une règle à mesurer, sachant que la longueur de l'objet à mesurer est de |21,3 \: \text {cm}|?
Puisque la plus petite unité de mesure d’une règle est de |0,1 \: \text {cm}|, l’incertitude absolue associée à cet instrument de mesure est de |\pm 0,05 \: \text {cm}|. On exprimera donc l’incertitude relative ainsi :

|\text {Incertitude relative} = \displaystyle \frac{{0,05 \: \text {cm}}}{{21,3 \: \text {cm}}}\times \text {100}|
|\text {Incertitude relative} = 0,23471... \%|
 
Puisque les incertitudes sont toujours exprimées avec un seul chiffre significatif, il faut arrondir l'incertitude afin de respecter cette règle. L'incertitude relative sera de |\pm 0,2 \%|.
On exprimera alors la mesure prise par la règle de la façon suivante: |21,3 \: \text {cm} \pm 0,2 \%|.

Le calcul d'incertitude

L'incertitude dans une addition ou une soustraction

Pour calculer l'incertitude lors d'une addition ou d'une soustraction, les incertitudes absolues s'additionnent pour donner l'incertitude absolue du résultat de la somme ou de la soustraction.

Quelle est le volume total d'eau si on ajoute |25,0 \: \text {ml} \pm 0,3 \: \text {ml} | d'eau dans un cylindre gradué de 50,0 ml contenant |10,0 \: \text {ml} \pm 0,4 \: \text {ml} |?
Pour trouver le volume total, il faut additionner les volumes: |25,0 + 10,0 = 35,0 \:  \text {ml}|.
Pour trouver l'incertitude, il faut additionner les incertitudes: |0,3 + 0,4 = \pm 0,7 \:  \text {ml}|.
La mesure finale est donc |\left( 35,0 \pm 0,7 \right) \: \text {ml}|.

Quelle est le volume total d'acide restant dans une burette si elle contenait |50,00 \: \text {ml} \pm 0,05 \: \text {ml} | et que |18,50 \: \text {ml} \pm 0,05 \: \text {ml} | ont été utilisés lors d'une neutralisation?
Pour trouver le volume restant, il faut soustraire les volumes: |50,00 - 18,50 = 31,50 \:  \text {ml}|.
Pour trouver l'incertitude, il faut additionner les incertitudes: |0,05 + 0,05 = \pm 0,1 \:  \text {ml}|.
La mesure finale est donc |\left( 31,5 \pm 0,1 \right) \: \text {ml}|.

L'incertitude dans une multiplication ou une division

Deux méthodes de calcul d'incertitudes sont proposées. Ces méthodes représentent des façons de calculer l'incertitude sur une donnée obtenue à la suite d'un calcul mathématique.

Calcul d'incertitude par l'incertitude relative

Pour calculer l'incertitude lors d'une multiplication ou d'une division, il faut additionner les incertitudes relatives des données initiales et multiplier la somme par la réponse finale.

Quelle est l'aire d'un rectangle dont la longueur mesure |20,0 \: \text {m} \pm 0,5 \: \text {m} | et dont la largeur mesure |12,0 \: \text {m} \pm 0,4 \: \text {m} |?
Pour trouver l'aire totale, il faut multiplier la longueur et la largeur: |20,0 \times 12,0 = 240,0 \:  \text {m}^2|.
Pour trouver l'incertitude, il faut utiliser les incertitudes relatives.
|\Delta \text {x} =\left( \left( \displaystyle \frac{{0,5 \: \text {m}}}{{20,0 \: \text {m}}} \right) + \left( \displaystyle \frac{{0,4 \: \text {m}}}{{12,0 \: \text {m}}} \right) \right) \times 240,0 \: \text {m}^2 = 14\: \text {m}^2 = 1 \times 10^1 \: \text {m}^2 |
La mesure finale est donc |\left( 24 \pm 1 \right) \times 10^1 \: \text {m}^2|.

Quelle est la masse volumique d'un objet dont la masse est de |109,47 \: \text {g} \pm 0,05 \: \text {g} | et le volume est |12,3 \: \text {ml} \pm 0,3 \: \text {ml} |?
Pour trouver la masse volumique, il faut diviser la masse par le volume: |109,47 \div 12,3 = 8,90 \:  \text {g/ml}|.
Pour trouver l'incertitude, il faut utiliser les incertitudes relatives.
|\Delta \text {x} =\left( \left( \displaystyle \frac{{0,05 \: \text {g}}}{{109,47 \: \text {g}}} \right) + \left( \displaystyle \frac{{0,3 \: \text {ml}}}{{12,3 \: \text {ml}}} \right) \right) \times 8,90 \: \text {g/ml} = 0,2\: \text {g/ml}|
La mesure finale est donc |\left( 8,9 \pm 0,2 \right) \: \text {g/ml}|.

Calcul d'incertitude par la méthode des extrêmes

Pour calculer l'incertitude lors d'une multiplication ou d'une division, il faut diviser par deux la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale pouvant être obtenue par les incertitudes.

Quelle est l'aire d'un rectangle dont la longueur mesure |20,0 \: \text {m} \pm 0,5 \: \text {m} | et dont la largeur mesure |12,0 \: \text {m} \pm 0,4 \: \text {m} |?
Pour trouver l'aire totale, il faut multiplier la longueur et la largeur: |20,0 \times 12,0 = 240,0 \:  \text {m}^2|.
Pour trouver l'incertitude, il faut déterminer les valeurs minimales et maximales.
|\text{x}_{\text {min}} = (20,0 - 0,5)\times (12,0 - 0,4) = 226,2 \:  \text {m}^2|
|\text{x}_{\text {max}} = (20,0 + 0,5)\times (12,0 + 0,4) = 254,2 \: \text {m}^2|
On détermine ensuite l'incertitude.
|\Delta \text {x} = \left( \displaystyle \frac{\text{x}_{\text {max}}-\text{x}_{\text {min}}}{{2}} \right)|
|\Delta \text {x} = \left( \displaystyle \frac{254,2\: \text {m}^2-226,2\: \text {m}^2}{{2}} \right)|
|\Delta \text {x}  = 14\: \text {m}^2 = 1 \times 10^1 \: \text {m}^2|
La mesure finale est donc |\left( 24 \pm 1 \right) \times 10^1 \: \text {m}^2|.

Lors de la division, il faut faire attention aux valeurs utilisées pour trouver les valeurs maximales et les valeurs minimales.

Quelle est la masse volumique d'un objet dont la masse est de |109,47 \: \text {g} \pm 0,05 \: \text {g} | et le volume est |12,3 \: \text {ml} \pm 0,3 \: \text {ml} |?
Pour trouver la masse volumique, il faut diviser la masse par le volume: |109,47 \div 12,3 = 8,90 \:  \text {g/ml}|.
Pour trouver l'incertitude, il faut déterminer les valeurs minimales et maximales.
|\text{x}_{\text {min}} = (109,47 - 0,05)\div (12,3 + 0,3) = 8,68 \:  \text {g/ml}|
|\text{x}_{\text {max}} = (109,47 + 0,05)\div (12,3 - 0,3) = 9,13 \:  \text {g/ml}|
On détermine ensuite l'incertitude.
|\Delta \text {x} = \left( \displaystyle \frac{\text{x}_{\text {max}}-\text{x}_{\text {min}}}{{2}} \right)|
|\Delta \text {x} = \left( \displaystyle \frac{9,13 \: \text {g/ml}-8,68 \: \text {g/ml}}{{2}} \right)|
|\Delta \text {x}  = 0,225 \: \text {g/ml} = 0,2 \: \text {g/ml}|
La mesure finale est donc |\left( 8,9 \pm 0,2 \right) \: \text {g/ml}|.

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