Mathématique m1034

Les nombres irrationnels (Q')

Les nombres irrationnels, représentés par |\mathbb{Q}'|, sont les nombres dont le développement décimal est infini et non périodique.
Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.

Les nombres irrationnels ne peuvent être exprimés comme une fraction d'entiers, car on ne peut exprimer un nombre dont le développement décimal est non périodique en fraction. Seuls les nombres ayant un développement décimal fini ou infini et périodique (les nombres rationnels |\mathbb{Q}|) peuvent s'exprimer sous forme de fractions d'entiers.

​​Les nombres irrationnels et les ensembles de nombres

L'ensemble des nombres irrationnels et l'ensemble des nombres rationnels sont mutuellement exclusifs, c'est à dire qu'un nombre ne peut pas être à la fois un nombre rationnel ET un nombre irrationnel. En utilisant les notations associées aux ensembles de nombres, ceci s'écrit
||\mathbb{Q}\cap\mathbb{Q'}=\emptyset||
et se lit «l'intersection de l'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels correspond à l'ensemble vide». 

Voici un schéma qui démontre l'emplacement des nombres irrationnels |\mathbb Q'| dans l'ensemble des nombres réels |\mathbb R|:


​Bref, l'ensemble des nombres irrationnels regroupent tous les nombres qui ne peuvent pas s'exprimer comme un quotient d'entiers. Le développement décimal de ces nombres est infini et non périodique.

Nombres irrationnels
||\begin{align}\small \pi&\small\ \approx 3,141592654...\\
\small \sqrt{2}&\small\ \approx 1,414213562...\\
\small \sqrt{3}&\small\ \approx1,732050807...\end{align}||
Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer sous la forme d'un quotient de nombres entiers.

Nombres rationnels
Le nombre |\small 3,456456456...|, en revanche, n'est pas un nombre irrationnel. En effet, on remarque une période dans ce nombre; les chiffres |\small 456| se répètent. Comme il contient une période, |\small 3,\overline{456}| est un nombre rationnel et peut s'exprimer sous la forme d'une fraction.

En utilisant les notations associées aux ensembles, on pourrait, par exemple, écrire ||\begin{align}\pi&\in\mathbb{Q}'\\ 3,\overline{345}&\notin\mathbb{Q}'\end{align}||

Les notations associées aux ensembles permettent aussi de désigner certains sous-ensembles précis de l'ensemble des nombres irrationnels.

On note |\mathbb {Q}'^*| l'ensemble des nombres irrationnels dont on a enlevé le nombre |\small 0|.

On note |\mathbb {Q}'_+| l'ensemble des nombres irrationnels positifs.

On note |\mathbb {Q}'_-| l'ensemble des nombres irrationnels négatifs.

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