Mathématique m1043

L'exponentiation et la racine d'un nombre

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Tout comme les autres opérations, l'exponentiation peut être utilisée avec des nombres de différentes natures. Par contre, la nature de ces nombres a une influence sur les propriétés de la notation exponentielle en question.

L'exponentiation d'un nombre

Avant de calculer les puissances des différentes notations exponentielles, il est important de maîtriser sa définition ainsi que le sens de ses composantes​

||a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot  ... \cdot a}_{n \ \text{fois}}||

La valeur de l'exposant représente le nombre de fois que la base est présente dans sa décomposition multiplicative.​

||\begin{align} 6^4 &= \underbrace{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}_{4 \ \text{fois}} \\
&=1296 \end{align}|| ​

Par contre, il existe deux valeurs d'exposants qui possèdent des caractéristiques plus particulières.

Exposant 0
Toute base affectée d'un exposant |\small 0| vaut |\small 1|.
​||2^0=1||​||\left(\frac{1}{5}\right)^0 =1||​​||a^0 ​=1 ||

Exposant 1
Toute base affectée d'un exposant |\small 1| reste inchangée.
​||2^1=2||​||\left(\frac{1}{5}\right)^1 =\frac{1}{5}||​​||a^1 ​=a ||​

Lorsque l'on maîtrise le concept de l'exponentiation, on se rend compte qu'une telle notation peut avoir un impact différent selon l'ensemble de nombres avec lequel on travaille.

Pour plus d'explications concernant les bases possibles en exponentiation, consulte les fiches suivantes: l'exponentiation de nombres naturels, l'exponentiation de nombres entiers et l'exponentiation de nombres réels​​.​​

La racine d'un nombre

La racine d'un nombre peut être définie comme étant l'inverse de l'exponentiation. 

​La racine |n^e| d'un nombre |a| peut se noter de la façon suivante: ||\sqrt[n]{a}|| ||\text{où}\ \ a\in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*|| Une racine |n^e| d'un nombre |a| est un nombre qui, affecté de l'exposant |n| donne |a|.


La racine sixième de |\small 64|, notée |\sqrt[6]{64}| est |\small 2| car |2^6=64|.


La racine quatrième de |\small 81|, notée |\sqrt[4]{81}| est |\small 3| car |3^4=81|.

Par ailleurs, les nombres entourant la racine possèdent également une terminologie précise.

​Le radicande est la valeur numérique ou l'expression algébrique qui est affectée par la racine. En d'autres mots, c'est l'expression qui est située sous la racine.

Par contre, l'indice, ou l'ordre, est la valeur numérique directement associée à la racine. 

||\begin{align} &&&&& \color{red}{\text{radicande}} && = && \color{red}{16} \\
\sqrt[\color{blue}{3}]{\color{red}{16}}&= \color{magenta}{2} &&\large\Rightarrow && \color{blue}{\text{indice}} && = && \color{blue}{3} \\
&&&&& \color{magenta}{\text{racine}} && = && \color{magenta}{2} \end{align}|| ​

La lecture du symbole |\sqrt{\color{white}{2}}|varie selon la valeur de l'indice lui étant associé.
  • Lorsque l'indice est |\small 2|, on lit « la racine carrée » du nombre. De plus, lorsque l'indice est |\small 2|, on omet généralement de l'écrire.
  • Lorsque l'indice est |\small 3|, on lit « la racine cubique​ » du nombre.
  • Lorsque l'indice est plus grand que |\small 3| on ajoute « ième » à la fin de la valeur de l'indice.

Exemple 1:||\sqrt{16}|| se lit « la racine carrée de |\small 16| » et vaut |\small 4| puisque |\small 4| exposant deux donne |\small 16|: ||\sqrt{16}=\color{red}{4}\quad \Leftrightarrow \quad \color{red}{4}^{2}=16||
Exemple 2: ||\sqrt[3]{27}|| se lit « la racine cubique de |\small 27| » et vaut |\small 3| puisque |\small 3| exposant trois donne |\small 27|: ||\sqrt[3]{27}=\color{red}{3}\quad \Leftrightarrow \quad \color{red}{3}^{3}=27||
Exemple 3: ||\sqrt[4]{625}|| se lit « la racine quatrième de |\small 625| » et vaut |\small 5| puisque |\small 5| exposant quatre donne |\small 625|: ||\sqrt[4]{625}=\color{red}{5}\quad \Leftrightarrow \quad \color{red}{5}^{4}=625||
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