Mathématique m1044

Les définitions et les propriétés des exposants et des racines

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​De par leurs définitions, les exposants et les racines sont deux notions qui sont intimement liées. Par ailleurs, elles possèdent sensiblement les mêmes propriétés. 

​​​​​​​​​​​​​​​​​​Les définitions des exposants​

​Pour les définitions suivantes, il est important de considérer que 
||\{a,b\} \in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad \{m,n\} \in \mathbb{N}||.

​Définitions 

​Exemples

​Un exposant entier et positif indique le nombre de fois où la base apparaît dans une multiplication. 
||a^{m}=\underbrace {a\times a\times ...\times a\times a}_{m\ \text {fois}}||
avec |(m>0)|
​|2^{3}=2\times 2\times 2=8|

|\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{4}=\displaystyle \frac{1}{2}\times \displaystyle \frac{1}{2}\times \displaystyle \frac{1}{2}\times \displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{1}{16}|
​Toute base affectée de l'exposant 0 donne 1. (sauf si la base est 0)
||a^{0}=1||
​|4^{0}=1|

|0^{0}\ \text{est indéfini}|
Toute base affectée de l'exposant 1 donne la base elle-même.
||a^{1}=a||
​|25^{1}=25|

|\displaystyle \left( \frac{8}{3} \right)^{1}=\displaystyle \frac{8}{3}|
​Une base affectée d'un exposant négatif est équivalent à l'inverse de la base affectée de l'exposant positif.
||\begin{align} a^{-m}&= \frac{1}{a^{m}}\\
\left(\frac{a}{b}\right)^{-m}&=\left(\frac{b}{a}\right)^{m}\end{align}||
​|2^{-4}=\displaystyle \frac{1}{2^{4}}|

|\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-5}=\left(\frac{3}{2}\right)^{5}|
Une base affectée d'un exposant fractionnaire se traduit en une racine.
||a^{\frac{m}{n}}=\sqrt [n]{a^{m}}||
​|8^{\frac{3}{5}}=\sqrt [5]{8^{3}}|

|2^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{2}|

Les propriétés des exposants

​Pour les propriétés suivantes​, il est important de considérer que 
||\{a,b\} \in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad \{m,n\} \in \mathbb{N}||.

​ ​

​Propriétés

​Exemples

Si deux mêmes puissances d'une même base sont égales, alors les exposants sont égaux.

||\text{Si} \ a^{m}=a^{n} \ \text{alors} \ m=n||
|8^{4}=8^{x}| donc, |4=x|

|2^{x+1}=2^{3}| donc, |x+1=3|


​Produit de puissances de même base :
Lorsque des notations exponentielles de mêmes bases sont multipliées ensemble, on additionne les exposants.
||a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}||

​|8^{3}\cdot 8^{5}\cdot 8^{-2}=8^{3+5+^-2}=8^{6}|
​Quotient de puissances de même base :
Lorsque des notations exponentielles de mêmes bases sont divisées ensemble, on soustrait les exposants.
|| \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\ \text{où} \ a\neq 0||

|\displaystyle \frac{4^{5}}{4^{3}}=4^{5-3}=4^{2}|
​Puissance d'un produit :
On peut distribuer un exposant lorsqu'il affecte une parenthèse qui contient une multiplication.
||(ab)^{m}=a^{m}b^{m} ||

​|(2xy)^{3}=2^{3}x^{3}y^{3}|
​Puissance d'un quotient :
On peut distribuer un exposant lorsqu'il affecte une parenthèse qui contient une division.
|| \left( \frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}} \ \text{où} \ b\neq 0||

|\displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^{5}=\frac{2^{5}}{3^{5}}|
​Puissance d'une puissance :
On multiplie les exposants quand une puissance est affectée d'un exposant.
||(a^{m})^{n}=a^{mn}||

​|(2^{3})^{3}=2^{3\cdot 3}=2^{9}|

|((3^{2})^{3})^{4}=3^{2\cdot 3\cdot 4}=3^{24}|


Ces propriétés peuvent également être applicables si on modifie adéquatement les ensembles de nombres avec lesquels on travaille.
 
Si |a \in \mathbb{R}_+| et |\{m,n\} \in \mathbb{Q}|, alors, |(a^m)^n = a^{m\cdot n}|.
||\begin{align} (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{5}} &= 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}} \\ &= 3^{\frac{3}{10}}\end{align}||​

Exemples d'application ​

Ces exemples font l'application des propriétés et des lois des exposants.


Voici une démarche que l'on peut utiliser pour simplifier une expression exponentielle: 
||\begin{align} (\color{red}{\sqrt [3]{3^{4}}}\cdot 5^{2})\div \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{3}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\right)
&= (\color{red}{3^{\frac{4}{3}}}\cdot 5^{2})\div \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{5}}\right)^{\color{blue}{3}}\right)\cdot 3^{\frac{1}{3}})\\
&= (3^{\frac{4}{3}}\cdot 5^{2})\div \left(\color{blue}{5^{\text{-}3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\right)\\
&= \frac{3^{\frac{4}{3}}\cdot 5^{2}}{\color{blue}{5^{\text{-}3}}\cdot \color{red}{3^{\frac{1}{3}}}}\\\\
&= \frac{3^{\frac{4}{3}}\cdot 5^{2}}{​\color{red}{3^{\frac{1}{3}}}\cdot \color{blue}{5^{\text{-}3}}}\\\\
&= \frac{3^{\frac{4}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}}\cdot \frac{5^{2}}{5^{\text{-}3}}\\\\
​&=3^{\frac{4}{3}\text{-}\frac{1}{3}}\cdot 5^{2\text{-}^\text{-}3}\\
&=3\cdot 5^{5}\end{align}​||


Cet exemple comporte des nombres et des variables :

Simplifie l'expression suivante en donnant une réponse où les exposants sont positifs.
||\begin{align}\left(\frac{2^{\frac{1}{4}}xy\cdot \color{red}{4} ​y}{\color{blue}{4} x^{2}y^{5}}\right)^{2}
&= \left(\frac{2^{\frac{1}{4}}xy\cdot \color{red}{2^{2}}y}{\color{blue}{2^{2}}x^{2}y^{5}}\right)^{2} && \text{changement en base 2} \\\\
&= \frac{2^{\frac{1}{2}}x^{2}y^{2}\cdot 2^{4}y^{2}}{2^{4}x^{4}y^{10}} && \text{distribution de l'exposant 2}\\\\
&=\frac{2^{\frac{1}{2}+4}x^{2}y^{2+2}}{2^{4}x^{4}y^{10}}&& \text{+ des exposant de même base}\\\\
&= \frac{2^{\frac{9}{2}}x^{2}y^{4}}{2^{4}x^{4}y^{10}}\\\\
&= 2^{\frac{9}{2}-4}x^{2-4}y^{4-10}&& \text{- des exposants de même base}\\\\
&= 2^{\frac{1}{2}}x^{-2}y^{-6}&&\\\\
&= \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2}y^{6}}&&\text{transformation des exposants -}\\\\
&= \frac{\sqrt{2}}{x^{2}y^{6}}&&\text{exposant fractionnaire en racine}\end{align}||

Les propriétés des racines (exposant fractionnaire)

​Pour les propriétés suivantes​, il est important de se rappeler que
||a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}|| ||\text{où}\quad a \in \mathbb{R},\quad m \in \mathbb{Z}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||


​Propriétés

​Exemples

​Produit de racines de même indice :
Le produit de la racine de même indice de deux nombres est équivalent à la racine du même indice du produit de ces nombres.
||\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}||

​|\sqrt[4]{8}\cdot \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{8 \cdot 7}|
​Quotient de racines de même indice :
Le quotient de la racine de même indice de deux nombres est équivalent à la racine du même indice du quotient de ces nombres.
||\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}||

|\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3]{\frac{2}{9}}|
​Factorisation d'une racine: 
On peut factoriser le radicande afin de simplifier l'écriture d'une racine.
||\sqrt[n]{a^n b} = a \sqrt[n]{b}||
||\begin{align} \sqrt[3]{108} &= \sqrt[3]{27 \cdot 4} \\ &= \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{4} \\
&=\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{4}\\
&= 3\sqrt[3]{4} \end{align}||

​Exemples d'application

​En mathématique, l'utilisation de ses propriétés est surtout présente lors de l'analyse de la fonction racine carréela rationalisation d'une fraction et les coordonnées des points du cercle trigonométrique​.

​Exemple 1
Simplifie |\sqrt{12}|.
||\begin{align} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \cdot 3} \\
&= \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}\\
&=2\sqrt{3}\end{align}||

Exemple 2
Simplifie |\sqrt[3]{16x^4y^2}|.
||\begin{align} \sqrt[3]{\color{blue}{16}\color{red}{x^4}\color{magenta}{y^2}} &= \sqrt[3]{\color{blue}{8 \cdot 2} \color{red}{ x^3 \cdot x^1} \cdot \color{magenta}{y^2}}\\
&=\sqrt[3]{\color{blue}{8}\color{red}{x^3}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{2}\color{red}{x^1}\color{magenta}{y^2}}\\
&=\sqrt[3]{\color{blue}{8}} \cdot \sqrt[3]{\color{red}{x^3}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{2}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}}\\
&= \color{blue}{2}\color{red}{x}\sqrt[3]{\color{blue}{2}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}} \end{align}||​

Exemple 3
Simplifie |\displaystyle \sqrt{\frac{36x^3y^4}{5z^6}}|.
||\begin{align}\sqrt{\frac{36x^3y^4}{5z^6}}
&=\frac{\sqrt{\color{blue}{36}\color{red}{x^3}\color{magenta}{y^4}}}{\sqrt{5z^6}}\\\\
&=\frac{\sqrt{\color{blue}{36}\color{red}{x^2\cdot x}\color{magenta}{y^4}}}{\sqrt{5z^6}}\\\\
&=\frac{\sqrt{\color{blue}{36}\color{red}{x^2}\color{magenta}{y^4}}\cdot \sqrt{\color{red}{x}}}{\sqrt{z^6}\cdot \sqrt{5}}\\\\
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\cdot \sqrt{\color{red}{x}}}{z^3\cdot \sqrt{5}}\\\\
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\cdot \sqrt{\color{red}{x}}}{z^3\cdot \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\​​
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\cdot \sqrt{\color{red}{x}}\cdot \sqrt{5}}{z^3\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}} \\\\​
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\cdot \sqrt{\color{red}{x}\cdot 5}}{z^3\cdot \sqrt{5\cdot5}} \\\\​
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\cdot \sqrt{5\color{red}{x}}}{z^3\cdot \sqrt{25}} \\\\​
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\sqrt{5\color{red}{x}}}{5z^3}\end{align}​||

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