Mathématique m1051

La soustraction de fractions et de nombres fractionnaires

​​​Avant d'être en mesure d'effectuer la soustraction de deux nombres en notation fractionnaire, il faut leur trouver un dénominateur commun. 

Une fois que l'on est capable de trouver des fractions équivalentes et de trouver des dénominateurs communs, on peut opérer la soustraction sur les fractions. 

La soustraction de fractions

1. On cherche un dénominateur commun.

2. Pour chaque fraction, on cherche la fraction équivalente.

3. On soustrait les numérateurs seulement.

 

Quand un dénominateur est un multiple de l'autre, il peut paraître plus simple de trouver un dénominateur commun.

Quelle est la différence entre
||\frac{1}{2}-\frac{1}{4}||
1. On cherche un dénominateur commun.
Multiples de |2=\{2,\underbrace{\color{red}{4}}_{\color{blue}{2^e \ \text{multiple}}},6,8,...\}|

Multiples de |4=\{\underbrace{\color{red}{4}}_{\color{green}{1^{er} \ \text{multiple}}}, 8, 12, 16,...\}|

Ainsi, le dénominateur commun sera |\color{red}{4}|. 

2. Pour chaque fraction, on cherche la fraction équivalente.
||\frac{1}{2}^{\color{blue}{\times 2}}_{\color{blue}{\times 2}}=\frac{2}{\color{red}{4}} \ \ \text{et} \ \frac{1}{4}^{\color{green}{\times 1}}_{\color{green}{\times 1}}=\frac{1}{\color{red}{4}}|| 
3. On soustrait les numérateurs seulement.
||\begin{align} \frac{1}{2}-\frac{1}{4} &= \frac{2}{\color{red}{4}}-\frac{1}{\color{red}{4}}\\\\
&=\frac{2-1}{\color{red}{4}}\\\\
&=\frac{1}{\color{red}{4}}\end{align}||

Par contre, lorsque les dénominateurs ne semblent partager aucune caractéristique multiplicative, la recherche d'un dénominateur commun est un peu plus complexe.

Quelle est la différence entre
||\frac{5}{\color{blue}{6}}-\frac{4}{\color{green}{5}}||
1. On cherche un dénominateur commun.
En utilisant la méthode de la multiplication des dénominateurs, on trouve le dénominateur commun:
||\color{blue}{6} \times \color{green}{5} = \color{red}{30}||.

2. Pour chaque fraction, on cherche la fraction équivalente.
||\frac{5}{\color{blue}{6}}^{\color{green}{\times 5}}_{\color{green}{\times 5}} =\frac{25}{\color{red}{30}}\ \ \text{et} \ \ \frac{4}{\color{green}{5}}^{\color{blue}{\times 6}}_{\color{blue}{\times 6}} = \frac{24}{\color{red}{30}}||
3. On soustrait les numérateurs seulement.
||\begin{align} \frac{5}{\color{blue}{6}} - \frac{4}{\color{green}{5}} &= \frac{25}{\color{red}{30}} - \frac{24}{\color{red}{30}} \\\\
&= \frac{25-24}{\color{red}{30}} \\\\
&= \frac{1}{\color{red}{30}} \end{align}||

Soustraire des fractions avec une droite numérique

D'abord, on doit séparer chaque unité de la droite en autant de sections que la valeur associée au dénominateur (le chiffre du bas dans la fraction).
Si on prend la fraction |\frac{3}{4}|. La 4e ligne à partir du 0 représente une unité ou la fraction|\frac{4}{4}|.


Les étapes à suivre pour soustraire des fractions sur une droite sont les suivantes:

1. On cherche le dénominateur commun aux fractions.

2. Pour chaque fraction, on trouve la fraction équivalente.

3. On gradue la droite en fonction du dénominateur commun.

4. On positionne la 1re fraction à partir de son numérateur.

5. On soustrait la 2e fraction à la 1re.

Quelle est la différence entre
||\frac{3}{8}-\frac{1}{4}||
1. On cherche le dénominateur commun aux deux fractions.
Multiples de |8=\{\underbrace{\color{red}{8}}_{\color{blue}{1^{er} \ \text{multiple}}}, 16, 24, 32, ... \}|

Multiples de |4=\{4, \underbrace{\color{red}{8}}_{\color{green}{2^e \ \text{multiple}}​}, 12, 16, ...\}|

Ainsi, le dénominateur commun |\color{red}{8}|.

2. Pour chaque fraction, on cherche la fraction équivalente.
||\frac{3}{8}^{\color{blue}{\times 1}}_{\color{blue}{\times 1}} =\frac{3}{\color{red}{8}} \ \ \text{et} \ \ \frac{1}{4}^{\color{green}{\times 2}}_{\color{green}{\times 2}} =\frac{2}{\color{red}{4}}||
3. On gradue la droite en fonction du dénominateur commun.



4. On positionne la 1re fraction à partir de son numérateur.



5. On soustrait la 2e fraction à la 1re.


Ainsi, |\frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{1}{8}|.

Soustraire des nombres fractionnaires

Si l’équation est composée de nombres fractionnaires, il existe plusieurs méthodes. La plus simple reste cependant celle qui propose de transformer les nombres fractionnaires en fractions pour ensuite appliquer la même méthode que celle proposée pour la soustraction de fractions.

Quelle est la différence entre
||5{\small\frac{1}{3}} - 2 {\small \frac{2}{5}}||
0. Passage du nombre fractionnaire vers la fraction
||\begin{align}&\phantom{=}5{\small \frac{1}{3}} && \text{et} && 2{\small \frac{2}{5}} \\
&=\small\frac{5 \times 3 + 1}{3} && \text{et} && =\small\frac{2 \times 5 + 2}{5} \\
&= \small\frac{16}{\color{blue}{3}} && \text{et} && =\small\frac{12}{\color{green}{5}} \end{align}||
1. On cherche un dénominateur commun.
En utilisant la méthode de la multiplication des dénominateurs, on obtient que le dénominateur commun suivant: |=\color{blue}{3} \times \color{green}{5} = \color{red}{15}|.

2. Pour chaque fraction, on cherche la fraction équivalente.
||\frac{16}{\color{blue}{3}}^{\color{green}{\times 5}}_{\color{green}{\times 5}} =\frac{80}{\color{red}{15}}\ \ \text{et} \ \ \frac{12}{\color{green}{5}}^{\color{blue}{\times 3}}_{\color{blue}{\times 3}} = \frac{36}{\color{red}{15}}||
3. On soustrait les numérateurs seulement.
||\begin{align} \small\frac{16}{\color{blue}{3}} - \small\frac{12}{\color{green}{5}} &= \small\frac{80}{\color{red}{15}} - \small\frac{36}{\color{red}{15}} \\\\
&= \small\frac{80-36}{\color{red}{15}} \\\\
&= \small\frac{44}{\color{red}{15}} \\\\
&=2{\small\frac{14}{15}}\end{align}||​​

Il est toujours préférable d'écrire une réponse sous la forme d'une fraction irréductible à la fin d'un calcul, lorsqu'il est possible de le faire.

Les vidéos
Les exercices
Les références