Mathématique m1062

Multiples, diviseurs et factorisation

​​Dans certaines situations, on peut être amené à s'interesser aux multiples et aux diviseurs des nombres entiers. L'étude des multiples et des diviseurs permettra de comprendre la factorisation des nombres ainsi que les notions de PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et de PPCM (Plus Petit Commun Multiple).

Les multiples d'un nombre

Un multiple d'un nombre correspond au produit de ce nombre avec un autre nombre entier.

L'ensemble des multiples d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par chacun des nombres entiers (|\mathbb{Z}|).

|12| est un multiple de |3|, car |3\times 4=12|.

L'ensemble des multiples de |3| est obtenu en multipliant |3| par chacun des éléments de |\mathbb{Z}|.
||\left\{ \dots,\text{-}12,\text{-}9,\text{-}6,\text{-}3,0,3,6,9,12,\dots \right\}||

De manière générale, on s'intéresse seulement aux multiples strictement positifs d'un nombre. En d'autres mots, on s'intéresse aux multiples d'un nombre dans |\mathbb{N}^*|.

Pour les multiples du nombre |3|, par exemple, on considère l'ensemble suivant : ||\left\{3,6,9,12,\dots \right\}||

Les diviseurs d’un nombre

Un diviseur d'un nombre est un nombre entier qui divise ce nombre sans qu'il n'y ait de reste. En d'autres mots, un nombre entier est un diviseur d'un autre nombre si le quotient est un nombre entier.

L'ensemble des diviseurs d'un nombre correspond à tous les nombres entiers qui divisent ce nombre sans qu'il n'y ait de reste.

|4| est un diviseur de |24|, car |24\div 4=6|.
|5| n'est pas un diviseur de |24|, car |24\div 5=\color{red}{4,8}| (Le quotient n'est pas un nombre entier).

L'ensemble des diviseurs de |24| est donné par: ||\left\{\text{-}24,\text{-}12,\text{-}8,\text{-}6,\text{-}4,\text{-}3,\text{-}2,\text{-}1,1,2,3,4,6,8,12,24\right\}||

De manière générale, on s'intéresse seulement aux diviseurs positifs d'un nombre. En d'autres mots, on s'intéresse aux diviseurs d'un nombre dans |\mathbb{N}|.

Pour les diviseurs du nombre |24|, par exemple, on considère l'ensemble suivant : ||\left\{1,2,3,4,6,8,12,24\right\}||

Déterminer l'ensemble des diviseurs d'un nombre

Pour énumérer les diviseurs d'un nombre, il existe plusieurs façons de procéder. La plus simple est de se questionner sur les diviseurs possibles en ordre croissant.
1. Se questionner sur les diviseurs possibles en ordre croissant.

2. Écrire tous les diviseurs entre accolades.


Pendant la recherche de diviseurs, si on se rend compte que deux diviseurs consécutifs se multiplient ensemble pour donner le nombre étudié, il ne reste alors qu'à compléter les paires de diviseurs pour terminer l'énumération.

Donne l'ensemble des diviseurs de |32|.

1. Se questionner sur les diviseurs possibles en ordre croissant.
||\begin{align}\small \text{Est-ce que }1\text{ divise }32\text{ ?}&\Rightarrow\small \text{Oui}\\
\small\text{Est-ce que }2\text{ divise }32\text{ ?}&\Rightarrow\small\text{Oui}\\
\small\text{Est-ce que }3\text{ divise }32\text{ ?}&\Rightarrow\small\color{red}{\text{Non}}\\
\small\text{Est-ce que }4\text{ divise }32\text{ ?}&\Rightarrow\small\text{Oui}\\
\small\text{Est-ce que }5\text{ divise }32\text{ ?}&\Rightarrow\small\color{red}{\text{Non}}\\
\small\text{Est-ce que }6\text{ divise }32\text{ ?}&\Rightarrow\small\color{red}{\text{Non}}\\
\small\text{Est-ce que }7\text{ divise }32\text{ ?}&\Rightarrow\small\color{red}{\text{Non}}\\
\small\text{Est-ce que }8\text{ divise }32\text{ ?}&\Rightarrow\small\text{Oui}\\ \dots \end{align}|| On se rend compte que les deux derniers diviseurs consécutifs de cette liste, |4| et |8|, se multiplient ensemble pour donner |32|.
À cette étape, nous avons les diviseurs suivants: |\left\{\color{orange}{1},\color{blue}{2},4,8\right\}|

En se fiant au Truc donné ci-haut, on peut compléter les paires de diviseurs pour terminer l'énumération.
On a, ||\begin{align}4\times 8 &= 32\\
\color{blue}{2}\times \color{blue}{16}&=32\\
\color{orange}{1}\times \color{orange}{32}&=32\end{align}||
2. Écrire tous les diviseurs entre accolades.
L'ensemble des diviseurs de |32| est donc |\left\{\color{orange}{1},\color{blue}{2},4,8,\color{blue}{16},\color{orange}{32}\right\}|.

Pour accélerer la recherche de diviseurs pour un nombre donné, il peut être utile d'avoir recours aux critères de divisibilité.

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