Mathématique m1068

Les expressions algébriques

Une expression algébrique est un ensemble de lettres et de nombres reliés entre eux par des symboles d'opération mathématique.

Une expression algébrique est formée d'une ou plusieurs lettres appelées variables ainsi que d'un ou plusieurs nombres appelés coefficients ou constantes. Lorsque ces expressions algébriques sont reliées par des opérations mathématiques, généralement par des symboles d'addition (+) et de soustraction (-), chaque expression est nommée terme

 

Les expressions algébriques peuvent être classées selon le nombre de termes qu'elles contiennent. De plus, on peut effectuer des opérations mathématiques sur les expressions algébriques. Il est aussi possible de les réduire en termes plus simples. Les fiches suivantes portent sur ces différentes notions:

Les variables

Une variable est une lettre à laquelle on peut attribuer différentes valeurs.

En algèbre, on tente de généraliser les calculs en remplaçant très souvent les nombres par des lettres. Ces lettres se nomment des variables. Une variable peut être représentée par n'importe quelle lettre de l'alphabet.

||\color{blue}{a}^2\qquad \qquad 4\color{blue}{b}^4-3\color{blue}{c}\qquad \qquad \color{blue}{y}+\color{blue}{z}|| Dans ces expressions algébriques, les lettres |a,b,c,y| et |z| sont des variables.

Comme son nom l’indique, la valeur d’une lettre (d'une variable) peut varier selon la situation et c’est avec cette caractéristique que l’on veut travailler.

On donne la valeur voulue à une variable selon le contexte dans lequel on l’utilise. Dans l'équation |2x + 3|, les valeurs des variables sont inconnues. On peut donc leur donner la valeur que l’on désire. Le remplacement d'une variable par un nombre s'appelle une substitution.
1) Si |x = 2| dans l'expression algébrique |2x + 3|.

    On remplace la variable par sa valeur respective:||\begin{align}2\color{red}{x} + 3 &= 2(\color{red}{2}) + 3 \\
&= 4 + 3 \\
&= 7\end{align}||  Dans ce cas, la valeur de l'expression algébrique serait de |7|.

2) Si |x = 5,5| dans l'expression algébrique |2x + 3|. ||\begin{align}2\color{red}{x} + 3 &= 2(\color{red}{5,5}) + 3 \\
& = 11 + 3 \\
&= 14\end{align}||  Dans ce cas, la valeur de l'expression algébrique serait de |14|.

 

Les constantes et les coefficients

Un coefficient est un nombre qui multiplie une ou plusieurs variables.

Une constante est un nombre qui ne multiplie pas une variable.

Dans une expression algébrique, les nombres peuvent être classés en deux groupes: les coefficients et les constantes.

  • Lorsqu'un nombre est placé directement devant une ou plusieurs variables, il est alors qualifié de coefficient de la variable. Le coefficient est un facteur de multiplication de la variable. Il peut être un nombre positif ou négatif.
  • Lorsqu'un terme est composé uniquement d'un nombre, on qualifie alors ce nombre de constante. Ce nombre n'est alors qu'une valeur ajoutée ou soustraite à l'expression algébrique et il peut être autant positif que négatif. 
Dans l'équation suivante, le |\color{green}{2}| est un coefficient, car il multiplie la variable |x| alors que le |\color{blue}{3}| est une constante, car il est seul.
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L'expression algébrique ci-dessus signifie: |2| multiplié par |x| plus |3|.

Les coefficients et les constantes peuvent être autant des nombres entiers que des nombres fractionnaires et décimaux.

Soit les expressions algébriques suivantes: ||2b^{4} + 7|| ||3,5xy^{2} + 4,3|| ||\displaystyle \frac{x}{2} + 5|| ||\frac{2y}{3} - \frac{5}{8}|| Les nombres |\displaystyle 2;3,5;\frac{1}{2}|; |\displaystyle \frac{2}{3}| sont des coefficients alors que les nombres |7; 4,3; 5| et |\displaystyle \frac{5}{8}| sont des constantes.

 

Pour exprimer le produit d'un coefficient et d'une ou plusieurs variables, le symbole de multiplication n'est pas inscrit. Ainsi, l'expression |3\times x| est plutôt écrite de la façon suivante: |3x|.

Les termes

Un terme est un élément d'une expression algébrique.

Il est possible de distinguer les termes d'une expression mathématique à l'aide des symboles mathématiques qu'elle contient. En effet, tous les termes d'une expression algébrique sont séparés par des symboles d'addition (+) ou de soustraction (-).

Soit l'expression algébrique suivante: ||2ab – 3r + 9u + xy – 7rst|| On y retrouve 5 termes différents séparés par des symboles d'addition et de soustraction:

1e terme: |2ab|
2e terme: |-3r|
3e terme: |9u|
4e terme: |xy|
5e terme: |-7rst|

On distingue deux types de termes dans les expressions algébriques. Les termes qui contiennent des variables sont des termes algébriques alors que ceux qui ne contiennent que des nombres sont des termes constants.

||x^2 + xy + y^2 + 4|| Dans cette expression algébrique, il y a quatre termes. Les trois premiers termes sont des termes algébriques alors que le dernier terme est un terme constant (|+4|).

Les termes semblables

Les termes sont dits semblables lorsqu’ils sont composés des mêmes variables et que ces mêmes variables sont affectées des mêmes exposants.



Termes semblables
|4x| et |5x| car ils ont la même variable (|x|) affectée du même exposant, soit |1| (l'exposant |1| n'est jamais écrit afin de simplifier l'écriture des expressions algébriques)​
​​|3x^2y^3| et |6x^2y^3| car on retrouve les mêmes variables (|x| et |y|) affectées des mêmes exposants (|2| pour la variable |x| et |3| pour la variable |y|)
​Termes non semblables
​|3xy| et |3xz| car ils n'ont pas les mêmes variables
​|12a^2b^3d| et |2a^2b^3d^2| car la variable |d| n'est pas affectée du même exposant dans les deux termes.


Soit les expressions algébriques suivantes: ||4,5xy^2\qquad\ \ 3xy\qquad\ \  \displaystyle \frac{3}{4}xy^2\qquad \ \ -8x^2y||Les termes |4,5xy^2| et |\displaystyle \frac{3}{4}xy^2| sont semblables puisqu'ils possèdent les mêmes variables affectées des mêmes exposants.

Les conventions d'écriture en algèbre

Lorsqu'on écrit une expression algébrique, il importe de respecter certaines conventions d'écriture.

1. Dans un terme, le coefficient est toujours écrit devant les variables. Il est important de noter qu'un coefficient de |1| n'est toutefois pas écrit dans une expression.

Les termes |5x^2| et |32xy| respectent la convention d'écriture.

Le terme |b15c^2| ne respectent pas la convention puisqu'il ne débute pas par son coefficient. Il faudrait plutôt écrire |15bc^2|

 

2. Si un terme comporte plusieurs variables, il est convenu de placer ces variables en respectant l'ordre alphabétique.

Les termes |3x^2yz| et |12abc^3| respectent la convention d'écriture.

Le terme |3zx^2y| ne respecte pas la convention puisque les variables n'y sont pas inscrites en ordre alphabétique. Il faudrait plutôt écrire |3x^2yz|.

 

3. Dans un polynôme, les termes sont disposés dans l'ordre décroissant de leur degré respectif. Si deux termes sont du même degré, il faudrait alors les écrire selon l'ordre alphabétique.

Le polynôme |4y^3 + 5x^2- 32x + 6| respecte la convention d'écriture.

Le polynôme |5x^2+ 4y^3+ 6| ne respecte pas la convention puisqu'il n'est pas en ordre décroissant des degrés de ses termes. Il faudrait plutôt écrire |4y^3 + 5x^2+ 6|.

Le polynôme |4b - 5a| ne respecte pas la convention puisque les variables du même degré ne sont pas en ordre alphabétique. Il faudrait plutôt écrire |-5a + 4b|.

 

Du monôme au polynôme

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Les exercices
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