Mathématique m1069

Du monôme au polynôme

​​​​​Il existe plusieurs types d'expressions algébriques lorsque l'on travaille en algèbre. On les distinguent par le nombre de termes qui les forment.


Les monômes

Les monômes sont des expressions algébriques contenant un seul et unique terme. Les termes peuvent être constants ou algébriques.


|4,6xy^2z^3| et |34d| sont tous des monômes.

Les polynômes

Les polynômes sont des expressions algébriques contenant un ou plusieurs termes. Un polynôme est en fait la somme ou la différence algébrique de plusieurs monômes.

On utilise couramment le mot « polynôme » pour désigner les expressions contenant plusieurs termes. Ces termes peuvent être constants ou algébriques.

|2ab – 3r + 9u + xy – 7| est est un polynôme.

|x^3+6s^2t-4x+5t+2| est un polynôme.

Les polynômes peuvent contenir une ou plusieurs variables. Un polynôme à une variable est une combinaison de plusieurs termes qui ne contiennent qu’une seule et unique lettre. À l'opposé, un polynôme à plusieurs variables est un ensemble de termes dans lesquels on retrouve plusieurs lettres.

Soit l'expression suivante: ||\color{green}{x}^3+\color{green}{x}^2-3\color{green}{x}+6|| Il s'agit d'un polynôme à une variable puisqu'il ne contient que la variable |\color{green}{x}|.

Soit l'expression suivante: ||\color{green}{x}\color{red}{y}^3+\color{green}{x}\color{blue}{z}^2-3\color{green}{x}+6d||Il s'agit d'un polynôme à plusieurs variables puisqu'il contient quatres variables différentes, soit |\color{green}{x},\color{red}{y},\color{blue}{z}| et |d|.

Deux cas particuliers de polynômes existent. Lorsqu'un polynôme est formé de deux termes, il est qualifié de binôme, alors qu'il est nommé trinôme lorsqu'il est composé de trois termes. Pour tous les cas où il y a quatre termes et plus, on qualifiera l'expression de polynôme.

Les binômes

Les binômes sont des expressions algébriques contenant deux termes. Un binôme est en fait la somme ou la différence algébrique de deux monômes.
|\color{green}{6xy^2z^3}+\color{red}{4}|   et  |\color{green}{34d}-\color{red}{8z}| sont des binômes puisqu'ils contiennent deux termes reliés par les symboles |+| et |-|.

Les trinômes

Les trinômes sont des expressions algébriques contenant trois termes. Un trinôme est en fait la somme ou la différence algébrique de trois monômes.
|\color{green}{6xy^2z^3}-\color{red}{34d}+\color{blue}{5}| est un trinôme puisqu'il contient trois termes reliés par les symboles |+| et |-|.

Le degré d'une expression algébrique

Le degré d'une expression algébrique correspond à la valeur des exposants des variables. Sa détermination varie selon qu'il s'agit d'un monôme ou d'un polynôme.


Degré d'une expression algébrique Exemple

Le degré d'un monôme à une seule variable correspond à l'exposant de cette variable.

 

|15| est de degré 0 car |15 = 15x^0|.

|-3m| est de degré 1 car |-3m = -3m^1|.

|x^2| est de degré 2.

|7y3| est de degré 3.

      

Le degré d'un monôme à plusieurs variables correspond à la somme des exposants des variables.

|2ab| est de degré 2 car |1+1 = 2|.

|5xy^2| est de degré 3 car |1+2 = 3|.

|6d^2e^3| est de degré 5 car |2+3 = 5|.

Le degré d'un polynôme correspond au degré du monôme qui a le degré le plus élevé.

|2x+3| est de degré 1 car |2x| est le monôme de plus grand degré dans ce polynôme.

|7x^2 + y + 15| est de degré 2 car |7x^2| est le monôme de plus grand degré dans ce polynôme.

|6a^2c^4 + 3b^3 + 12| est de degré 6 car |6a^2c^4| est le monôme de plus grand degré dans ce polynôme.​


Les exposants dans les monômes, les binômes, les trinômes et les polynômes sont toujours des nombres naturels.


|3x^{1/2}+2x-4| n'est pas un polynôme puisque l'exposant de la variable |x| n'est pas un nombre naturel.

|-3x^{-1}| n'est pas un monôme puisque l'exposant de la variable |x| n'est pas un nombre naturel.


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