Mathématique m1084

Les taux

Un taux est une comparaison entre deux quantités ou deux grandeurs de nature différente et exprimées à l'aide d'unités différentes.

Un taux fait intervenir la division et sera souvent noté sous la forme d'une fraction |\displaystyle \frac{a}{b}|.

Pour bien comprendre la notion de taux, il convient de survoler les concepts suivants.

Exemples de taux

Voici quelques exemples de taux.

À l'épicerie, Caroline a payé |\small 4,32\ $| pour |\small 6\ \text{avocats}|.


Le taux qui traduit cette situation est:
||\displaystyle \frac{4,32\ $}{6\ \text{avocats}}||
m1082i30.jpg

m1082i31.png Pour se rendre à Montréal, Gaston a parcouru |240\ \text{km}| en |3\ \text{heures}|.


Le taux qui traduit cette situation est: ||\displaystyle \frac{240\ \text{km}}{3\ \text{heures}}||

Pour savoir comment traduire une situation à l'aide d'un taux, visite la fiche suivante.

Les taux unitaires

Un taux unitaire est un taux dont le dénominateur est |1|.Voici comment procéder pour transformer un taux en taux unitaire.
1. Déterminer la division ou la multiplication permettant d'obtenir |1| comme dénominateur.

2. Effectuer l'opération déterminée à l'étape 1 au numérateur et au dénominateur du taux.

3. Exprimé le taux unitaire en écrivant le numérateur obtenu en notation décimale et en inscrivant les unités de mesure à droite sous la forme d'une fraction.

Donne le taux unitaire équivalent à |\displaystyle \frac{45\ \text{g}}{6\ \text{L}}|.

1. Déterminer la division ou la multiplication permettant d'obtenir |1| comme dénominateur.
    On doit diviser le dénominateur par |6| pour obtenir un dénominateur de |1|.

2. Effectuer l'opération déterminée à l'étape 1 au numérateur et au dénominateur du taux.||\displaystyle \frac{45\ \text{g}\color{green}{\div 6}}{6\ \text{L}\color{green}{\div 6}}=\frac{7,5\ \text{g}}{1\ \text{L}}||3. Exprimé le taux unitaire en écrivant le numérateur obtenu en notation décimale et en inscrivant les unités de mesure à droite sous la forme d'une fraction.
    |7,5\ \text{g}/\text{L}| est le taux unitaire équivalent à |\displaystyle \frac{45\ \text{g}}{6\ \text{L}}|.

On peut obtenir la valeur du taux unitaire directement en divisant le numérateur par le dénominateur du taux initial.

Donne le taux unitaire équivalent à |\displaystyle \frac{3,32\ $}{4\ \text{bananes}}|.

En utilisant le truc, on obtient: ||3,32\ $ \div 4\ \text{bananes}= 0,83\ $/\text{banane}|| |0,83\ $/\text{banane}| est le taux unitaire équivalent à |\displaystyle \frac{3,32\ $}{4\ \text{bananes}}|.

Le taux horaire

Le terme taux horaire est souvent utilisée lorsqu’il est question d'argent.
Un taux horaire est un taux unitaire qui exprime une quantité d’argent par rapport à une base horaire. Par exemple, ce peut être la somme nécessaire pour obtenir un service par heure ou encore le salaire gagné pour chaque heure travaillée.

Paul a gagné |600\ $| en |40| heures de travail. Quel est son taux horaire?||\begin{align}\frac{600\ $}{40\ \text{h}}&=\frac{600\ $\color{green}{\div40}}{40\ \text{h}\color{green}{\div40}}\\
\\
&=\frac{15\ $}{1\ \text{h}}\end{align}||Son salaire est de |15\ $/\text{h}|.

Les taux équivalents

Les taux équivalents se réfèrent aux fractions équivalentes.

Des taux équivalents sont des taux ayant:
  • les mêmes unités de mesure;
  • le même taux unitaire.

On dira alors que les taux forment une proportion.

Voici comment procéder pour déterminer si deux taux sont équivalents ou non.

1. S'assurer que les taux ont les mêmes unités de mesure et effectuer les conversions au besoin.

2. Exprimer les taux sous la forme de taux unitaires.

3. Comparer les taux unitaires. S'ils sont égaux, les taux initiaux sont équivalents.

Les taux |\displaystyle \frac{80\ $}{5\ \text{h}}| et |\displaystyle \frac{112\ $}{420\ \text{min}}| sont-ils équivalents?

1. S'assurer que les taux ont les mêmes unités de mesure et effectuer les conversions au besoin.
On remarque que les unités de mesure des dénominateurs ne sont pas les mêmes. Il faudra donc faire une conversion. En changeant les minutes en heures, on a: ||420\ \text{min}\div 60=7\ \text{h}||2. Exprimer les taux sous la forme de taux unitaires.||\begin{align}80\ $\div 5\ \text{h}&=16\ $/\text{h} \\ 112\ $\div 7\ \text{h}&=16\ $/\text{h}\end{align}||3. Comparer les taux unitaires. S'ils sont égaux, les taux sont équivalents.
    Les taux unitaires sont égaux, les taux initiaux étaient donc équivalents.||\displaystyle \frac{80\ $}{5\ \text{h}}=\frac{112\ $}{420\ \text{min}}||

Les taux |\displaystyle \frac{11\ \text{L}}{100\ \text{km}}| et |\displaystyle \frac{18\ \text{L}}{150\ \text{km}}| sont-ils équivalents?

1. S'assurer que les taux ont les mêmes unités de mesure et effectuer les conversions au besoin.
Pour cet exemple, les taux comparés ont les mêmes unités de mesure.

2. Exprimer les taux sous la forme de taux unitaires.||\begin{align}11\ \text{L}\div 100\ \text{km}&=0,11\ \text{L/km} \\ 18\ \text{L}\div 150\ \text{km}&=0,12\ \text{L/km}\end{align}||3. Comparer les taux unitaires. S'ils sont égaux, les taux sont équivalents.
    Les taux unitaires ne sont pas égaux. Les taux initiaux n'étaient donc pas équivalents.||\displaystyle \frac{11\ \text{L}}{100\ \text{km}}\color{red}{\neq}\frac{18\ \text{L}}{150\ \text{km}}||


La comparaison de taux

Dans certaines situations, il peut être demandé de comparer deux ou plusieurs taux. Généralement, on veut déterminer lequel des taux est le plus avantageux.

1. S'assurer que les taux ont les mêmes unités de mesure et effectuer les conversions au besoin.

2. Exprimer les taux sous la forme de taux unitaires.

3. Comparer la valeur des taux unitaires et choisir le bon taux selon la situation.

Stéphanie regarde les circulaires des épiceries du coin pour savoir où il serait plus aventageux d'acheter son boeuf haché. L'épicerie Dufour vend son boeuf haché 8,50$ pour 2 kilogrammes, alors que l'épicerie Vrac-à-Vrac l'offre à 12,24$ pour 3 kilogrammes.

Quelle épicerie permettra à Stéphanie d'en avoir plus pour son argent?

1. S'assurer que les taux ont les mêmes unités de mesure et effectuer les conversions au besoin.
Les taux traduisant cette situaiton sont les suivants:
    |\displaystyle \frac{8,50\ $}{2\ \text{kg}}| et  |\displaystyle \frac{12,24\ $}{3\ \text{kg}}|
Pour cet exemple, les taux comparés ont les mêmes unités de mesure.

2. Exprimer les taux sous la forme de taux unitaires.
    -Épicerie Dufour: |8,50\ $\div 2\ \text{kg}=4,25\ $/\text{kg}|
    -Épicerie Vrac-à-Vrac: |12,24\ $\div 3\ \text{kg}=4,08\ $/\text{kg}|

3. Comparer la valeur des taux unitaires et choisir le bon taux selon la situation.
On cherche l'épicerie qui vend son boeuf haché le moins cher. Comme |4,25>4,08|, Stéphanie devrait faire son achat à l'épicerie Vrac-à-Vrac.


Les effets de la modification d'un terme dans un taux

Tout comme pour une fraction, si on effectue la même multiplication ou la même division aux deux termes (numérateur et dénominateur), on obtient un taux équivalent.
Par contre, si on ne modifie que le numérateur OU le dénominateur, on affecte directement la valeur du taux, et ce, de l'une des façons suivantes.

Soit un taux |\displaystyle \frac{a}{b}|.

Pour augmenter la valeur du taux, on peut:
    |\bullet| augmenter la valeur du terme |a| (numérateur);
    |\bullet| diminuer la valeur du terme |b| (dénominateur).

Pour diminuer la valeur du rapport, on peut:
    |\bullet| diminuer la valeur du terme |a| (numérateur);
    |\bullet| diminuer la valeur du terme |b| (dénominateur).

Pierre gagne présentement 525 $ pour 35 heures de travail.

Le taux représentant cette situation est |\displaystyle \frac{525\ $}{35\ \text{heures}}|.

a) Donne deux façons pour l'employeur de Pierre d'augmenter la valeur de son salaire horaire (taux horaire).

|\bullet| 1ère façon: Augmenter le montant d'argent.
    S'il donne à Pierre |\color{green}{70\ $}| de plus, par exemple, on obtient:||\displaystyle \frac{525\color{green}{+70}}{35}=\frac{595\ $}{35\ \text{h}}\Rightarrow \frac{595\ $}{35\ \text{h}}\color{red}{>}\frac{525}{35\ \text{h}}||
|\bullet| 2ième façon: Diminuer le nombre d'heures travaillés.
    S'il demande à Pierre de travailler |\color{green}{5\ \text{h}}| de moins, par exemple, on obtient:||\displaystyle \frac{525}{35\color{green}{-5}}=\frac{525\ $}{30\ \text{h}}\Rightarrow \frac{525\ $}{30\ \text{h}}\color{red}{>}\frac{525}{35\ \text{h}}||    *Pour s'en convaincre, on pourrait calculer les taux horaires.

b) Donne deux façons pour l'employeur de Pierre de diminuer la valeur de son salaire horaire (taux horaire)

|\bullet| 1ère façon: Diminuer le montant d'argent.
    S'il donne à Pierre |\color{green}{35\ $}| de moins, par exemple, on obtient: ||\displaystyle \frac{525\color{green}{-35}}{35}=\frac{490\ $}{35\ \text{h}}\Rightarrow \frac{490\ $}{35\ \text{h}}\color{red}{<}\frac{525\ $}{35\ \text{h}}||
|\bullet| 2ième façon: Augmenter le nombre d'heures travaillés.
    S'il demande à Pierre de travailler |\color{green}{3\ \text{h}}| de plus, par exemple, on obtient: ||\displaystyle \frac{525}{35\color{green}{+3}}=\frac{525\ $}{38\ \text{h}}\Rightarrow \frac{525\ $}{38\ \text{h}}\color{red}{<}\frac{525}{35\ \text{h}}||    *Pour s'en convaincre, on pourrait calculer les taux horaires.

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