Mathématique m1087

La méthode de comparaison

La méthode de comparaison est une méthode qui permet de résoudre algébriquement un système où les deux équations sont sous la forme |y=ax+b|.
On privilégie généralement la méthode de résolution d’un système d’équations par comparaison lorsque la même variable dans les deux équations est isolée. Autrement dit, lorsque le système a la forme suivante :

|\begin{cases}y = a_1x + b_1 \\ y = a_2x + b_2 \end{cases}|

Évidemment, il est possible d'utiliser cette méthode même si les deux variables dépendantes ne sont pas isolées dans leurs équations respectives. Il faudra alors procéder à quelques manipulations algébriques pour isoler ces variables avant de procéder à la comparaison des équations.

La résolution d’un système consiste à trouver la valeur de |x| pour laquelle la valeur de |y| est la même dans les deux équations. En posant |y=y|, il en découlera par transitivité de l'égalité l'équation à une variable suivante : |a_1x+b_1=a_2x+b_2|. C'est ce que nous appelons la comparaison.

Il n'est pas nécessaire que ce soit la variable dépendante (généralement nommée |y|) qui soit isolée dans les deux équations. Il faut simplement que ce soit la même variable qui soit isolée, peu importe que ce soit la variable dépendante ou la variable indépendante.

 

Pour procéder à une résolution algébrique d'un système d'équations par la méthode de comparaison, il faut suivre les étapes suivantes:

1. Dans le cas d'un problème écrit, définir les variables et traduire la situation par un système d'équations.

2. Isoler une même variable dans les deux équations, si nécessaire.

3. Former une équation à une variable en comparant les deux expressions algébriques.

4. Résoudre cette équation.

5. Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des équations de départ pour trouver la valeur de la deuxième variable.

6. Valider le résultat en substituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations initiales.



Prenons le système d’équations linéaires suivant:
||\begin{cases}y + 4 = 3x - 1 \\ y=2x+2 \end{cases}||
1. Dans le cas d'un problème écrit, définir les variables et traduire la situation par un système d'équations.
Comme le système est déjà donné, cette étape n'est pas nécessaire.

2. Isoler une même variable dans les deux équations, si nécessaire.
Dans ce cas, il est plus simple d'isole le |y| dans la première équation seulement comme il est déjà isolé dans la deuxième. 
||\begin{align}y + 4 &= 3x - 1\\
y + 4 \color{red}{- 4} &= 3x - 1 \color{red}{- 4}\\
y &= 3x-5\end{align}||
3. Former une équation à une variable en comparant les deux expressions algébriques.
||\begin{align}y &= y \\ 3x - 5 &= 2x + 2\end{align}||
4. Résoudre cette équation
Il faut maintenant isoler |x| pour en connaître la valeur.
||\begin{align}3x - 5 \color{red}{+ 5} &= 2x + 2 \color{red}{+ 5}\\
3x &= 2x + 7\\
3x \color{red}{- 2x} &= 2x + 7 \color{red}{- 2x}\\
x& = 7\end{align}||
5. Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des équations de départ pour trouver la valeur de la deuxième variable.
Prenons |y=2x+2|.
||\begin{align}y& = 2x +2\\
y& = 2(7) +2\\
y &= 14 +2\\
y &= 16\end{align}||
6. Valider le résultat en substituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations initiales.
||\begin{align} y &= 2x + 2  & y+4 &= 3x-1\\
(16)&=2(7)+2 &  (16)+4 &= 3(7)-1\\
16&=14+2 &  20&=21-1\\
16&=16 &  20&=20 \end{align}||
Comme ces valeurs vérifient les deux équations, on peut affirmer que la solution au système d’équation est le couple |(7, 16)|.

Prenons le système d’équations linéaires suivant:
||\begin{cases}x = -5y + 9 \\ x=y+3 \end{cases}||
1. Dans le cas d'un problème écrit, définir les variables et traduire la situation par un système d'équations.
Comme le système est déjà donné, cette étape n'est pas nécessaire.

2. Isoler une même variable dans les deux équations, si nécessaire.
Comme la variable |x| est isolée dans les deux équations, on peut passer à l'étape suivante.

3. Former une équation à une variable en comparant les deux expressions algébriques.
||\begin{align}x &= x \\ -5y+9 &= y+3\end{align}||
4. Résoudre cette équation
Il faut maintenant isoler |y| pour en connaître la valeur.
||\begin{align}-5y+9 \color{red}{-9} &= y+3 \color{red}{-9}\\
-5y &= y-6\\
-5y \color{red}{- y} &= y -6 \color{red}{- y}\\
-6y& = -6\\
-6y\color{red}{\div -6}&=-6\color{red}{\div -6}\\
y&=1\end{align}||
5. Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des équations de départ pour trouver la valeur de la deuxième variable.
Prenons |x=-5y+9|.
||\begin{align}x& = -5y +9\\
x& = -5(1) +9\\
x &= -5+9\\
x& = 4\end{align}||
6. Valider le résultat en substituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations initiales.
||\begin{align} x &= -5y+9  & x &= y+3\\
(4)&=-5(1)+9 &  (4)&= (1)+3\\
4&=-5+9 &  4&=4\\
4&=4 \end{align}||
Comme ces valeurs vérifient les deux équations, on peut affirmer que la solution au système d’équation est le couple |(4,1)|.

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Les exercices
Les références