Mathématique m1124

La fonction polynomiale de degré 2

​Une fonction polynomiale de degré deux est une fonction dont le degré de l'expression algébrique qui l'a définie est deux. Plus précisément pour cette fiche, on fera référence au polynône |ax^2 + bx + c| avec |a, b, c \in \mathbb{R}|. 

Graphiquement parlant, c'est la parabole qui est utilisée pour tracer cette fonction.​​​ 

Par contre, il est important de faire la différence entre une fonction polynomiale de degré deux et une fonction quadratique. ​

Fonction quadratique
Le terme "quadratique" fait référence à des polynômes qui sont homogènes. En d'autres mots, cela signifie que tous les termes d'un tel polynôme doivent avoir le même degré.
Par exemple, 
|x^2 + xy + y^2| (tous les termes sont de degré 2)
|8a^3 + 12 a^2b + 6ab^2 + b^3| (tous les termes sont de degré 3)​

Par ailleurs, la seule fonction quadratique qui fait partie de la famille des fonctions polynomiale de degré deux est |ax^2|.​
Pour assurer une certaine conformité dans l'écriture de la règle de la fonction polynomiale de degré deux, on peut avoir recours à quatre différentes formes. 

|f(x)=ax^2| 
|f(x)=ax^2+bx+c| (la forme générale)
|f(x)=a(x-h)^2+k| (la forme canonique)
|f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)| (la forme factorisée)

La fonction polynomiale du second degré de base est représentée par le graphique suivant :


On remarque qu'il y a un sommet et qu'il est situé à l'origine (0,0) du plan cartésien.

Pour une fonction polynomiale du second degré, lorsque la variable indépendante augmente d'une unité, chaque deuxième variation de la variable dépendante est constante et vaut |2a|.
Qu'en est-il pour la fonction |f(x)=2(x-1)^2+1| ?



Chaque deuxième variation de la variable dépendante vaut 4 ou |2a|. Or, si |2a=4|, alors |a=2|. Ce qui est bel et bien la valeur du paramètre |a|.

Cette fiche traite de la fonction polynomiale du second degré sous la forme |y=a(bx)^2| et du comportement de ses paramètres.

Pour des informations supplémentaires, vous pouvez consulter les fiches suivantes:

Les vidéos
Les exercices
Les références