Mathématique m1127

Le rôle des paramètres dans une fonction polynomiale de degré 2

Cette fiche présente le rôle des différents paramètres d'une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme canonique, sous la forme générale ou sous la forme factorisée.

La forme de base d’une fonction polynomiale de degré 2 est : |f(x)=x^{2}|

Lorsqu’on transforme cette forme de base, on obtient une équation avec différents paramètres.

La forme canonique : |f(x)=a(x-h)^2+k| où |h| et |k| sont les coordonnées du sommet.

La forme générale : |f(x)=ax^2+bx+c| où |c| est l'ordonnée à l'origine.

La forme factorisée : |f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)| où |x_1| et |x_2| sont les zéros de la parabole.

Remarque: Le paramère |a| est toujours le même, peu importe la forme d'écriture, et il doit être différent de zéro.


Manipulation animée des paramètres

Dans l'animation suivante, tu peux modifier les paramètres de la fonction polynomiale de degré 2. Observe bien les modifications qui s'opèrent sur la courbe transformée (en noir) par rapport à la fonction de base (en vert). Tu peux en profiter pour observer l'effet de la modification des paramètres sur les propriétés de la fonction. Par la suite, tu pourras poursuivre la lecture de la fiche pour avoir toutes les précisions sur chacun des paramètres de chacune des formes d'écriture de la fonction.


L'analyse du paramètre |a|

Un changement d'échelle vertical de la courbe de facteur |a|

Le paramètre |a| est responsable de l’ouverture (l'étirement vertical) de la parabole.

Lorsque |a| est plus grand que |1| (|a>1|):

Plus le paramètre |a| est grand, plus l’ouverture de la parabole est petite. La fonction subit donc un étirement vertical.

Lorsque |a| est entre |0| et |1| (|0<a<1|):

Plus le paramètre |a| est petit (près de 0), plus l’ouverture de la parabole est grande. La fonction subit donc un rétrécissement vertical.

Une réflexion du graphique de la fonction autour de l'axe des |x|

Lorsque |a| est positif (|a>0|) :

L'ouverture de la parabole est vers le haut.

Lorsque |a| est négatif (|a<0|) :

L'ouverture de la parabole est vers le bas.


L’effet des modifications d’un paramètre sous la forme canonique

La forme canonique : |f(x)=a(x-h)^2+k| où |a|, |h| et |k| sont les paramètres de la fonction.

Remarque: Le paramètre |a| doit être différent de zéro.

L'analyse du paramètre |h|

Lorsque |h| est positif (|h>0|) :

La courbe de la fonction polynomiale de degré 2 subit une translation vers la droite.

 Lorsque |h| est négatif (|h<0|) :

La courbe de la fonction polynomiale de degré 2 subit une translation vers la gauche.

L'analyse du paramètre |k|

Lorsque |k| est positif (|k>0|) :

La courbe de la fonction polynomiale de degré 2 subit une translation vers le haut.


Lorsque |k| est négatif (|k<0|) :

La courbe de la fonction polynomiale de degré 2 subit une translation vers le bas.

 

Dans la forme canonique, les paramètres |h| et |k| fournissent les coordonnées du sommet de la parabole dans le plan cartésien.

||\text{Sommet}= (h,k)||


Les paramètres d'une fonction sous la forme canonique


L’effet des modifications d’un paramètre sous la forme générale

La forme générale : |f(x)=ax^2+bx+c| où |a|, |b| et |c| sont les paramètres de la fonction.

Remarque: Le paramètre |a| doit être différent de zéro.

Dans la forme générale, le paramètre |a| est le même que dans la forme générale et que dans la forme factorisée. Il a donc les mêmes effets sur la parabole. Voici quelques exemples :

L'analyse du paramètre |b|

Lorsqu’on fait varier le paramètre |b| d’une fonction polynomiale de degré 2 sous sa forme générale, on peut alors observer une translation oblique du sommet (qui suit la forme d'une parabole).

Lorsque |b| est positif (|b>0|):

La parabole se déplace vers la gauche et vers le bas si |a>0|. Elle se déplace vers la droite et vers le haut si |a<0|.

Dans l'exemple suivant, si |a=1| et |c=0|:

Lorsque |b| est négatif (|b<0|) :

La parabole se déplace vers la droite et vers le bas si |a>0|. Elle se déplace vers la gauche et vers le haut si |a<0|.

Dans l'exemple suivant, si |a=1| et |c=0|:

L'analyse du paramètre |c|

Dans la forme générale, le paramètre |c| nous donne la valeur de l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur de |y| lorsque |x=0|.

 


L'effet des modifications d'un paramètre sous la forme factorisée

La forme factorisée : |f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)| où |a|, |x_1| et |x_2| sont les paramètre de la fonction.

Remarque: Le paramètre |a| doit être différent de zéro.

Dans la forme générale, le paramètre |a| est le même que dans la forme générale et que dans la forme factorisée. Il a donc les mêmes effets sur la parabole.

L'analyse des paramètres |x_1| et |x_2| (les zéros)

Dans la forme factorisée, les paramètres |x_1| et |x_2| nous donnent la valeur des zéros de la fonction, c’est-à-dire les valeurs de |x| lorsque |y=0|. Une fonction polynomiale de degré 2 ne peut donc pas s'écrire sous la forme factorisée lorsque la courbe ne croise pas l'axe des |x|, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a pas de zéros.

m1127i12.png



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