Mathématique m1148

La résolution de problèmes avec la fonction exponentielle

Lorsqu'on traduit une situation avec une fonction exponentielle, l'utilisation de la forme suivante sera généralement celle utilisée: |y=ac^{bx}|. 

Dans cette équation :

Le paramètre |a| représente la valeur initiale de la fonction.

Le paramètre |c| représente la base de la fonction, c'est-à-dire le facteur multiplicatif présent dans la fonction.

Le paramètre |b| représente le nombre de fois pour lequel le facteur multiplicatif est appliqué dans un intervalle de temps donné. 

Toutefois, il peut arriver que l'équation soit de la forme y=acb(x-h)+k.  Généralement, ce sera mentionné dans la question. 

La demi-vie d'un élément

Au début d'une expérience, un chercheur possédait 50 g d'un élément radioactif. Cet élément se désintègre et sa masse diminue de moitié trois fois par heure. On souhaite représenter cette situation par une équation exponentielle.

1) Identification des variables :

x: le temps écoulé (en heures) depuis le début de l'expérience.
y: la masse restante (en grammes) de l'élément radioactif.

2) Recherche des paramètres :

Le paramètre a sera égal à 50 puisqu' au départ , le chercheur possédait 50 g de cette substance (valeur initiale).

Le paramètre c de cette fonction sera égal à 1/2, puisque la masse de l'élément radioactif diminue de moitié toutes les heures.

Le paramètre b est égal à 3 puisque la masse de l'élément en question diminue de moitié trois fois à chaque heure .


3) On écrit l'équation :


|y=50\cdot(\frac{1}{2})^{3x}|
 

 

Culture de bactéries

À 8h ce matin, un échantillon de yogourt contenait 10 000 bactéries. 30 minutes plus tard, le nombre de bactéries présentes dans cet échantillon a quadruplé. On souhaite représenter cette situation par une équation exponentielle.

1) Identification des variables :

x: le temps (en heures) écoulé depuis 8h ce matin
y: le nombre de bactéries présentes dans l'échantillon de yogourt.

2) Recherche des paramètres :

Le paramètre a sera égal à 10 000, puisque lorsque x = 0 (à 8h ce matin), le nombre de bactéries était égal à 10 000 .

Le paramètre c sera égal à 4, puisque le facteur multiplicatif de cette fonction est égal à 4 (le nombre de bactéries quadruple).

Le paramètre b sera égal à 2 puisque le nombre de bactéries quadruple deux fois par heure (aux 30 minutes).

3) On écrit l'équation :

|y=10000\cdot4^{2x}|

Les placements ou les emprunts avec intérêts

Il existe un cas particulier de fonction exponentielle à analyser : celui des placements ou des emprunts avec intérêts.

Les paramètres a, b et c ont toujours la même signification. Cependant, dans le cas où on a une augmentation ou diminution du capital de départ en pourcentage et/ou dans les cas où les intérêts sont calculés plus d'une fois par année, la traduction de la situation en équation peut être plus ardue.

a représente toujours la valeur initiale.

b représente le nombre de fois par période donnée pour lequel les intérêts sont calculés (ceci est exactement le même rôle que celui joué par le paramètre "b" précédemment).

Le paramètre peut être développée de façon à mettre en évidence le taux d'intérêts.  On peut représenter la base c par l'équation suivante.

|c=1\pm\frac{i}{b}|
 
où i représente le taux d'intérêt (en forme décimale).

On utilise le positif s'il y a un gain et le négatif pour une perte.

Ceci signifie que si les intérêts sont composés annuellement, le facteur multiplicatif est égal à 1 plus le taux d'intérêt (en forme décimale), ce qui est logique. Si les intérêts sont composés à une autre fréquence, on divise le taux d'intérêt par le paramètre b.

Le placement

Après avoir obtenu un emploi d'étudiant et avoir travaillé tout l'été, Alexandre a réussi à économiser 4000$. Il place cet argent au taux égal à 3% d'intérêt par année. Les intérêts de ce placement sont composés mensuellement. On souhaite représenter cette situation par une fonction exponentielle.

1) Identification des variables :

x: le temps écoulé (en années) depuis qu'Alexandre a placé ses économies
y: la valeur de ses économies (après y avoir ajouté les intérêts).

2) Recherche des paramètres :

Le paramètre a sera égal à 4000.

Le paramètre b sera égal à 12, puisque les intérêts sont composés mensuellement , c'est-à-dire 12 fois par année.

La base c sera égale à "1 + i/b", où "i" sera égal à 0,03 (3% en forme décimale) puisque c'est le taux d'intérêt. Donc, c = 1 + 0,03/12.

3)
On écrit l'équation :

y = 4000(1 + 0,03/12)12x

y= 4000(1,0025)12x

Les vidéos
 

 

Les exercices
Les références