Mathématique m1149

La résolution d'équations et d'inéquations

La résolution d'équations est la démarche qui permet de déterminer la ou les valeurs d'une inconnue qui valident l'équation.

La résolution d'inéquations est la démarche qui permet de déterminer l'ensemble-solution des valeurs possibles d'une inconnue qui valident l'équation.

Résoudre une équation ou une inéquation consiste à trouver toutes les valeurs que la variable peut prendre pour valider l'équation de départ. Certaines règles doivent être respectées lors de la résolution d'équation et d'inéquation. De plus, il est toujours possible de vérifier si la réponse obtenue est vraie par une méthode simple de validation.

Chaque type de fonction possède des particularités qui font varier la façon de les résoudre. Toutefois, elles respectent toutes les règles de transformation générales.

Les règles de transformation

Les règles de transformation des équations permettent d'obtenir des équations équivalentes, c'est-à-dire des équations ayant la ou les mêmes solutions. Selon les opérations effectuées, les équations changent. Voici les règles associées à chacune des opérations:

1. Additionner le même nombre aux deux membres de l'équation;
2.
Soustraire le même nombre aux deux membres de l'équation;
3. Multiplier les deux membres de l'équation par un même nombre différent de zéro;
4. Diviser les deux membres de l'équation par un même nombre différent de zéro.

 

|2x+3=6| où la solution est |3/2|
|2x+3\color{red}{+5}=6\color{red}{+5}|
|2x+8=11| où la solution est |3/2|
Les deux équations sont équivalentes puisqu'elles ont la même solution.

|6-8x=1| où la solution est |5/8|
|6-8x\color{red}{\div2}=1\color{red}{\div2}|
|3-4x=1/2| où la solution est |5/8|
Les deux équations sont équivalentes puisqu'elles ont la même solution.

Tout comme la résolution d'équation, la résolution d'inéquation doit aussi respecter certaines règles. Les règles de transformation des inéquations permettent d'obtenir des inéquations équivalentes, c'est-à-dire des inéquations ayant le même ensemble-solution.

1. Additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inéquation conserve le sens de cette inéquation;
2. Multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par un même nombre strictement positif conserve le sens de cette inéquation;
3. Multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par un même nombre strictement négatif inverse le sens de cette inéquation.

 

|3a-2\ge-16| où l'ensemble-solution est |a\ge-14/3|
|\color{blue}{5\times}(3a-2)\ge\color{blue}{5\times}-16|
|15a-10\ge-80| où l'ensemble-solution est |a\ge-14/3|
Les deux équations sont équivalentes puisqu'elles ont le même ensemble-solution.

|-2x+4\le12| où l'ensemble-solution est |x\ge-4|
|(-2x+4)\color{blue}{\div-2}\color{red}{\ge}12\color{blue}{\div-2}|
|x+2\color{red}{\ge}-6| où l'ensemble-solution est |x\ge-4|
Les deux équations sont équivalentes puisqu'elles ont le même ensemble-solution.

Les équations équivalentes

Des équations équivalentes sont des équations qui ont la même solution ou les mêmes solutions.

Afin de vérifier si deux équations sont équivalentes, on doit vérifier si la solution d'une équation valide la seconde équation.

Soit les équations suivantes: |3x = 27| et |5x = 45|

La réponse à la première équation est |x = 9| étant donné que |3\times (9) = 27|.

La réponse à la seconde équation est |x = 9| étant donné que |5\times (9) = 45|.

Les deux équations sont donc équivalentes.

La validation d'une solution

Afin de valider la solution trouvée, il suffit de remplacer l'inconnue dans l'équation de départ par la solution trouvée.

 

La solution à l'équation suivante: |6-8x=1| est |5/8|. Si on veut vérifier la solution trouvée, il suffit de remplacer la variable |x| par la solution trouvée.

|6-8(\color{red}{5/8})=1|
|6-5=1|
|1=1|

L'égalité est vérifiée ce qui confirme que la solution de l'équation est bel et bien |x=5/8|.

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