Mathématique m1165

L'analyse des paramètres dans une fonction en escalier sous la forme canonique

Lorsqu’on ajoute les paramètres |a|, |b|, |h|, |k| à la forme de base |f(x)=[x] |, on obtient ce que l'on appelle la forme canonique (aussi appelée forme transformée) de la fonction en escalier.

La forme canonique de la fonction en escalier est : |f(x)=a[b(x-h)]+k|
où |a|, |b|, |h| et |k| sont des nombres réels jouant le rôle de paramètre.

Les paramètres |a| et |b| sont toujours non nuls

Analyse du paramètre |a|

Le paramètre |a| est responsable d’un changement d’échelle verticale de facteur |a|.

|\bullet| Plus le paramètre |a| est grand, plus la distance entre les marches de l’escalier est grande. Le graphique de la fonction s'allonge sur la verticale.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cliquer sur les images pour les agrandir)

|\bullet| Plus le paramètre |a| est petit (près de 0), plus la distance entre les marches de l’escalier est petite. Le graphique de la fonction se rapproche de l'axe des |x|.

 

 

 

 

 

 

 

 

(cliquer sur les images pour les agrandir)

Le paramètre |a| est aussi responsable de l’orientation du graphique de la fonction en escalier.

|\bullet| Lorsque le paramètre |a| est négatif, le graphique subit une réflexion par rapport à l’axe des |x|.

Analyse du paramètre |b|

Le paramètre |b| est responsable d'un changement d'échelle horizontale de facteur | \frac{1}{b} |.

|\bullet | Si |  b> 1 |, alors la longueur des segments devient plus petite. Le graphique de la fonction se contracte horizontalement.

 

 

 

 

 

 

 

 

(cliquer sur les images pour les agrandir)

|\bullet| Si | 0 <  b  < 1|, alors la longueur des segments est allongée d'un facteur |\frac{1}{b}|. Le graphique s'allonge à l'horizontale.

(cliquer sur les images pour les agrandir)

Le paramètre |b| est aussi responsable de l’orientation du graphique de la fonction en escalier.

|\bullet| Lorsque le paramètre |b| est négatif, le graphique subit une réflexion par rapport à l’axe des |y|.

Aussi:

|\bullet| Si |b| est positif, chaque segment a un point fermé à gauche et un point ouvert à droite.

|\bullet| Si |b| est négatif, chaque segment a un point ouvert à gauche et un point fermé à droite.



Analyse du paramètre |h|

Le paramètre |h| est responsable du déplacement horizontal de la fonction en escalier. 

|\bullet| Si le paramètre |h| est positif, le graphique de la fonction en escalier se déplacera vers la droite.

|\bullet| Si le paramètre |h| est négatif, le graphique de la fonction en escalier se déplacera vers la gauche.

 

Analyse du paramètre |k|

Le paramètre |k| est responsable du déplacement vertical du graphique de la fonction en escalier. 

|\bullet| Si le paramètre |k| est positif, le graphique de la fonction en escalier se déplacera vers le haut.

|\bullet| Si le paramètre |k| est négatif, la graphique de la fonction en escalier se déplacera vers le bas.

La pente de l’escalier

Il est peut être utile de noter que nous pouvons exprimer la pente de l’escalier de la façon suivante :

| \text{ La pente de l'escalier}= a \cdot b|
|\bullet| Si la pente est positive, la fonction est croissante.
|\bullet| Si la pente est négative, la fonction est décroissante.

Les vidéos
Les exercices
Les références