Mathématique m1169

La résolution de problèmes avec la fonction en escalier

Dominik loue des films à son club vidéo préféré une fois par semaine. Malheureusement ce dernier a la fâcheuse habitude de ne pas retourner ses films à temps. Un film coûte 2,50$ lors de la première journée. Il faut absolument retourner le film après une journée sinon il doit payer des frais supplémentaires de 3,00$ par jour de retard.


a) Déterminez l'équation de la fonction modélisant cette situation et tracez le graphique.

La fonction qui modélise cette situation est une fonction en escalier de la forme |y=a[b(x-h)+k]| où |x| est le nombre de jours et |y| la somme à payer.

On peut trouver la valeur de la contre-marche (|a|) qui correspond à la somme à payer à chaque jour. Dans notre cas, on paye 3,00$ par jour. Ainsi, le |a| vaut 3. Nous déterminerons le signe à lui donner plus tard.

De plus, on peut trouver la valeur de |b| en utilisant la longueur de la marche.

En effet, on a la relation |\text{longueur de la marche}= \frac{1}{\mid b \mid}|.

Dans cet exemple, la longueur de la marche équivaut à 1. Ainsi, |\mid b \mid = 1|.

Il ne reste qu'à déterminer les coordonnées d'un point plein pour obtenir le couple |(h,k)|. Le premier point plein est |(1;2,5)|.

Le sens des points est vide-plein. Ainsi, le paramètre |b| doit être négatif. Par conséquent, |b=-1|.

La fonction est croissante alors |ab >0| et ainsi |a=-3|.

En résumé, |a=-3, b=-1, h=1| et |k=2,5|. Ainsi, l'équation est |y=-3[-1(x-1)]+2,5|.

On obtient le graphique suivant:



b) Combien Dominik doit-il payer s'il rapporte son film 6 jours plus tard ?

On cherche la valeur de |y| lorsque |x=6|.

|y=-3[-1(6-1)]+2,5|
|y=-3[-5]+2,5|
|y=-3 \times -5 + 2,5|
|y = 15 + 2,5|
|y=17,5|

Dominik devra payer 17,50$.

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