Mathématique m1211

Trouver une mesure manquante selon l'aire d'une figure (1 variable)

​​​​​​​​​Dans les cas où l'on connaît l'aire d'une figure, il peut arriver que l'on demande de trouver une ou plusieurs mesures manquantes. Pour résoudre ces problèmes avec succès, il est essentiel de connaître les formules d'aires des différentes figures planes.

Afin de s'assurer d'une construction adéquate et juste​ des expressions et équations algébriques, on peut s'inspirer des stratégies suivantes.​

Expression algébrique de degré 1

1. Identifier la formule.

2. Remplacer les valeurs que l'on connaît.

3. Simplifier et isoler la variable.

4. Interpréter la réponse.

Par ailleurs, les propriétés des figures avec lesquelles on travaille peuvent être utilisées pour trouver des informations additionnelles. 

​​Triangle​

​Quelle est la mesure de la hauteur d'un triangle dont la base mesure |\small 10 \ \text{cm}| et l'aire est de |\small 12,5 \ \text{cm}​^2|? 
m1211i23.png
1. Identifier la formule. ||A_\Delta=\frac{b\cdot h}{2}|| 2. Remplacer les valeurs que l'on connaît.

|\small \begin{align*}​ A_\Delta &= \frac{b \cdot h}{2} \\\\ 12,5 &= \frac{10 \cdot x}{2}\end{align*}|

3. ​Simplifier et isoler la variable.

|\small \begin{align*} 12,5 &= \frac{10 \cdot h}{2}\\\\ 12,5 \color{red}{\cdot 2} &= \frac{10 \cdot h}{2} \color{red}{\cdot 2} \\\\ \frac{25}{\color{red}{10}} &= \frac{10 \cdot h}{\color{red}{10}} \\\\ 2,5 &= h ​\end{align*}|

4.Interpréter la réponse.

La mesure de la hauteur du triangle est |\small 2,5 \ \text{cm}|.

​​Quadrilatère

​Quelle est la mesure de la grande base d'un trapèze dont 
|\tiny \bullet| la petite base et la hauteur mesurent |\small 12\ \text{cm}|,
|\tiny \bullet| l'aire du trapèze est de |\small 252\ \text{cm}​^2|? 
m1211i24.png
1. Identifier la formule. ||A_\text{trapèze}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}|| 2. Remplacer les valeurs que l'on connaît.

​ ||\small\begin{align*}​ A_\text{trapèze} &= \frac{(\color{red}{B}+ \color{blue}{b})\cdot \color{magenta}{h}}{2} \\\\ 252 &= \frac{(\color{red}{B}+ \color{blue}{12})\cdot \color{magenta}{12}}{2}​\\\\ 252&= \frac{12\color{red}{B}+ 144}{2}​\end{align*}||
3. ​Simplifier et isoler la variable.
||\small\begin{align*} 252 \color{orange}{\cdot 2}&= \frac{12\color{red}{B}+ 144}{2}\color{orange}{\cdot 2} ​\\\\ 504\color{orange}{-144}&= 12\color{red}{B}+ 144\color{orange}{-144} \\\\
\frac{360}{\color{orange}{12}} &= \frac{12 \color{red}{B}}{\color{orange}{12}}\\\\
30 &= \color{red}{B} 
​\end{align*}||
4. Interpréter la réponse.

Ainsi, la mesure de la grande base est de |\small 30 \ \text{cm}|.

Polygone régulier

​Quelle est la mesure de l'apothème d'un octogone régulier dont un côté mesure |\small 4 \ \text{cm}| et l'aire est de |\small 80 \ \text{cm}​^2|? 
m1211i22.png
1.Identifier la formule. ||A_\text{octogone}=\frac{c \cdot a \cdot n}{2}||
2. Remplacer les valeurs que l'on connaît.

|\small \begin{align*}​ A_\text{octogone}&= \frac{c \cdot a \cdot n}{2} \\\\ 80 &= \frac{4 \cdot a \cdot 8}{2}\end{align*}|

3. Simplifier et isoler la variable.

|\small \begin{align*} 80 &= \frac{4 \cdot a \cdot 8}{2}\\\\ 80\color{red}{\cdot 2} &= \frac{32 \cdot a}{2} \color{red}{\cdot 2} \\\\ \frac{160}{\color{red}{32}} &= \frac{32\cdot a}{\color{red}{32}} \\\\ 5 &= a ​\end{align*}|

4.Interpréter la réponse.

La mesure de l'apothème de l'octogone est |\small 5 \ \text{cm}|.
​ ​​

Expression algébrique de degré 2

1 mesure manquante

Lorsqu'une seule mesure est manquante, on suivra les mêmes étapes que pour une expression algébrique de degré 1.

1. Identifier la formule.

2. Remplacer les valeurs que l'on connaît.

3. Simplifier et isoler la variable.

4. Interpréter la réponse.

Par ailleurs, les propriétés des figures avec lesquelles on travaille peuvent être utilisées pour trouver des informations additionnelles. 

​​Quadrilatère

​Quelle est la mesure d'un côté d'un carré dont l'aire est de |\small 121 \ \text{cm}​^2|? 
m1211i21.png
1. Identifier la formule. ||A_\text{carré}= c^2|| 2. Remplacer les valeurs que l'on connaît.
|\begin{align*}​ A_\text{carré}&= c^2 \\ 121  &= c^2\end{align*}|

3. Simplifier et isoler la variable.

|\begin{align*} \sqrt{121} &= \sqrt{c^2}\\ 11 &= c ​\end{align*}|

4.Interpréter la réponse.

La mesure d'un côté d'un tel carré est de |\small 11 \ \text{cm}|.

​​C​ercle

​Quelle est la mesure du rayon d'un disque dont l'aire est de |\small 100 \ \text{cm}​^2|? 
m1211i20.png
1. Identifier la formule. ||A_\text{disque}=\pi\cdot r^2||  2. Remplacer les valeurs que l'on connaît.
|\begin{align*}​ A_\text{disque}&= \pi \cdot r^2 \\ 100 &= \pi \cdot r^2\end{align*}|

3. Simplifier et isoler la variable.

|\begin{align*} \frac{100}{\color{red}{\pi}} &= \frac{\pi \cdot r^2}{\color{red}{\pi}} \\ \sqrt{31,83} &\approx \sqrt{r^2} \\ 5,64 &\approx r ​\end{align*}|

4.Interpréter la réponse.

La mesure du rayon du disque est environ |\small 5,64​​​ \ \text{cm}|.

2 mesures manquantes

Lorsqu'un problème comporte deux mesures manquantes, il plus facile d'associer la variable |x| à la mesure pour laquelle on a le moins d'informations. Ainsi, on suivra les étapes suivantes.

1. Associer la variable |x| à la mesure pour laquelle on a le moins d'informations.

2. À l'aide d'un dessin, associer les expressions algébriques aux différentes mesures.

3. Identifier la formule et remplacer les valeurs que l'on connaît.

4. Simplifier et isoler la variable.

5. Interpréter la réponse.

​​Triangle

​Quelles sont les mesures de la base et de la hauteur du triangle qui respecte les condtions suivantes:
|\tiny \bullet| la base mesure |\small 5\ \text{cm}| de plus que la hauteur,
|\tiny \bullet| l'aire du triangle est de |\small 12 \ \text{cm}​^2|? 

1. Associer la variable |x| à la mesure pour laquelle on a le moins d'information. ||x=\text{mesure de la hauteur du triangle}|| 2. À l'aide d'un dessin, associer les expressions algébriques aux différentes mesures.
m1211i10.PNG 
3.  Identifier la formule et remplacer les valeurs que l'on connaît.
||\small \begin{align*}​ A_\Delta &= \frac{\color{blue}{b}\cdot \color{red}{h}}{2} \\\\ 12 &= \frac{(\color{blue}{x+5})\cdot \color{red}{x}}{2}\\\\ &= \frac{x^2+ 5x}{2}\end{align*}||
4. ​Simplifier et isoler la variable.
||\begin{align*} 12 \color{magenta}{\cdot 2}&= \frac{x^2+5x}{2} \color{magenta}{\cdot 2}\\\\ 24 \color{magenta}{-24} &= x^2+5x\color{magenta}{-24} \\ 0 &= x^2+5x-24\end{align*}|| À l'aide de la formule quadratique, on a: ||\displaystyle \begin{align}x_{1,2} = \frac{\text{-}b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\quad \Rightarrow \quad x_{1,2}&= \frac{\text{-}(5) \pm \sqrt{5^2- 4 \cdot 1 \cdot (\text{-}24)}}{2\cdot 1}\\\\
&=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{2}\\\\
\Rightarrow x_1=3 \ &\text{et} \ x_2 = \text{-}8
​\end{align}|| Puisqu'on cherche une mesure de longueur, on conserve seulement la valeur qui est positive, soit |x_1 = 3|.

5.Interpréter la réponse.

Ainsi, les mesures recherchées sont
m1211i16.PNG
Les vidéos
Les exercices
Les références