Mathématique m1259

Frise et dallage

​​​Plusieurs tissus et matériaux présentent des images ou des motifs qui peuvent se répéter selon une logique pré-établie. Dans le domaine mathématique, on décrit ces constructions comme étant des frises et des dallages​.

​​Afin de les construire adéquatement, on peut avoir recours à des transformations géométriques.

La frise (définition et propriétés)

De façon générale, il s'agit d'un motif qui se répète, mais en suivant une logique de construction particulière.

Une frise est une bande continue aux bords parallèles formée par la répétition d'un ou de plusieurs motifs. Par ailleurs, ces motifs doivent se répéter avec régularité et harmonie.​

Pour créer cette bande, on peut utiliser des réflexions, des translations ou des rotations de |180^\circ| (symétrie glissée) de façon successive.

Frise obtenue par translation
Dans une frise obtenue par translation, les motifs obtenus sont des répliques identiques du motif de base (même orientation, même arrangement de couleur, même dimension, ​etc.).
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Frise obtenue par réflexion
Dans une frise obtenue par réflexion, chaque motif est le résultat d'une réflexion du motif qui le précède. Ainsi, les dimensions seront préservées, mais l'orientation du motif sera modifiée.
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Frise obtenue par rotation de |180^\circ| (symétrie glissée)
Dans une frise obtenue par rotation, chaque motif est le résultat d'une rotation du motif qui le précède. En analysant l'ordre des couleurs, on peut noter une différence par rapport à la réflexion.
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​En gardant ces définitions et ces exemples en mémoire, il devient plus facile de créer de nouvelles frises.

Construction d'une frise par réflexion

​Comme plusieurs concepts en mathématique, on peut établir une logique séquencielle permettant de construire une frise en bonne et due forme.

1) Tracer le motif de base.

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2) Tracer l'axe de réflexion de la frise.


3) Effectuer la réflexion pour la première section du motif.


4)​ Effectuer la réflexion sur le reste du motif.

S'il semble trop complexe d'utiliser la réflexion, on peut passer par la translation pour avoir un résultat tout aussi intéressant.

Construction d'une frise par translation

Pour ce faire, on suivra le même genre de démarche que celle présentée plus haut.

1) Tracer le motif de base.

2) Tracer la première flèche de translation de la frise​.
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3) Effectuer la première translation du motif de base.
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4) Répéter la translation aussi souvent que désiré.
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​Peu importe les couleurs et le motif de base choisis, il suffit de suivre ces étapes pour construire une frise digne de ce nom.

Construction d'une frise par rotation de |180^\circ| (symétrie glissée)

​Pour cette construction, la rotation sera toujours faite à partir du motif précédent et pas nécessairement à partir du motif initial.

1) Tracer le motif de base.
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2) Identifier le centre de rotation.
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3) Réaliser la première rotation.
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4) Répéter la rotation aussi souvent que désiré.
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Outre pour des utilités de décoration comme pour des tapisseries, on peut utiliser la même démarche, mais pour couvrir entièrement différente surface.

Le dallage

Non seulement la notion de répétition d'un motif de départ est importante, mais il faut également considérer l'espace occupée par ce dernier.

Un dallage est une surface recouverte de motifs sans espace libre et sans superposition de ceux-ci.​

​Une fois de plus, on peut utiliser la translation ou la réflexion pour construire un dallage.

Construction d'un dallage par réflexion

On peut obtenir un dallage en effectuant une réflexion d'un ou de plusieurs motifs.

1) Tracer le motif de base.
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2) Tracer un premier axe de réflexion.
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3) Effectuer la première réflexion.
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4) Effectuer la réflexion aussi souvent que désiré.
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​Fait à noter, on peut tracer les axes de réflexion où l'on veut. L'important est de s'assurer de couvrir toute la surface sans laisser d'espace visible entre chacun des motifs.

Construction d'un dallage par translation

Pour effectuer un dallage par translation, on procède sensiblement de la même façon que pour la réflexion toujours en s'assurant qu'il n'y a aucun espace vide entre chacune des reproductions.​

1) Tracer le motif de base.
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2) Tracer une première flèche de translation.
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3) Tracer le résultat de la première translation.
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4) Répéter les translations aussi souvent que désiré.
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​Fait à noter, l'orientation, le sens et la longueur de la flèche de translation va varier selon l'image que l'on veut obtenir. En fait, il faut simplement s'assurer qu'il n'y ait aucun espace libre entre chacun des motifs images puisqu'il s'agit d'une surface à couvrir entièrement.

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