Mathématique m1260

Le «tant pour cent» et le cent pour cent

Pour résoudre une situation de variation directe dans laquelle des pourcentages sont impliqués, on peut utiliser, selon le contexte, l'une ou l'autre des stratégies suivantes:

Le calcul du « tant pour cent » d'un nombre

Le calcul du tant pour cent d'un nombre consiste à trouver le nombre qui correspond à un certain pourcentage.Ce calcul revient à trouver le terme manquant dans une proportion dont l'un des rapports a un dénominateur de |100|. En d'autres mots, on cherche à quelle portion d'un ensemble correspond un certain pourcentage. Plusieurs méthodes permettent d'effectuer le calcul du «tant pour cent» d'un nombre. En voici deux.

  • Méthode 1: La multiplication par le pourcentage
  • Méthode 2: Le produit croisé

Méthode 1: La multiplication par le pourcentage

Pour effectuer cette méthode avec succès, il convient de bien savoir comment exprimer un pourcentage en notation décimale.

1. Exprimer le pourcentage en notation décimale.

2. Multiplier le pourcentage en notation décimale par le nombre dont on cherche le «tant pour cent».

Lors d'un songage, 30 % des élèves d'une école secondaire de 1500 élèves considèrent que le menu de la cafétéria doit être changé.

1. Exprimer le pourcentage en notation décimale
||\displaystyle 30\ \%=\frac{30}{100}=0,3||
2. Multiplier le pourcentage en notation décimale par le nombre dont on cherche le «tant pour cent».
||0,3\times 1500=450||
Il y a donc |450| élèves qui considèrent que le menu de la cafétéria doit être changé.

Méthode 2: Le produit croisé

Cette méthode découle de la propriété fondamentale des proportions. Il est à noter que l'on peut aussi utiliser n'importe quelle méthode permettant de résoudre une situation directement proportionnelle pour calculer le «tant pour cent» d'un nombre. Cependant, on privilégie souvent la méthode du produit croisé lorsqu'il est question de pourcentages.

1. Traduire la situation par une proportion dont l'un des rapports représente le pourcentage et dont l'autre contient un terme manquant au numérateur.

2. Calculer le «tant pour cent» à l'aide du produit croisé ou de la méthode de son choix.

Dans une classe de 32 élèves, 75 % sont des garçons. Combien y a-t-il de garçons dans le groupe?

1. Traduire la situation par une proportion dont l'un des rapports représente le pourcentage et dont l'autre contient un terme manquant au numérateur.
||\displaystyle \frac{?\ \text{élèves}}{32\ \text{élèves}}=\frac{75}{100}||
2. Calculer le «tant pour cent» à l'aide du produit croisé.
||\begin{align}?\times 100&=32\times 75\\ \\ ?&=\frac{32\times 75}{100}\\ \\ ?&=24\end{align}||
Il y a donc |24| garçons dans le groupe de |32| élèves.

Le calcul du « cent pour cent » d'un nombre

Le calcul du cent pour cent d'un nombre consiste à trouver la valeur représentant le 100% d'un ensemble ou d'une quantité.

Ce calcul s'effectuera à l'aide du nombre connu et du pourcentage auquel il correspond.

Le produit croisé est la méthode privilégié pour calculer le «cent pour cent», mais il est possible d'effectuer ce calcul à l'aide de n'importe quelle méthode permettant de résoudre une situation directement proportionnelle.

1. Traduire la situation par une proportion dont l'un des rapports représente un pourcentage et dont l'autre contient un terme manquant au dénominateur (le «cent pour cent»).

2. Calculer le «cent pour cent» à l'aide du produit croisé ou de la méthode de son choix.

Sur un bateau de croisière, 64 % des personnes parlent l'anglais. Sachant que ce pourcentage correspond à 800 personnes, combien y a-t-il de vacanciers sur le navire?

1. Traduire la situation par une proportion dont l'un des rapports représente un pourcentage et dont l'autre contient un terme manquant au dénominateur (le «cent pour cent»).
On sait que |\color{blue}{64}\ \%| représente |\color{blue}{800}| personnes.
||\displaystyle \frac{\color{blue}{64}}{100}=\frac{\color{blue}{800}\ \text{personnes}}{?\ \text{personnes}}||
2. Calculer le «cent pour cent» à l'aide du produit croisé ou de la méthode de son choix.
||\begin{align}64\times ?&=100\times 800\\ \\?&=\frac{100\times 800}{64}\\ \\?&=1250\end{align}||
Il y a donc |1250| vacanciers sur le bateau de croisière.

Normand projète d'allonger le quai de son chalet de 20 % cet été. Le quai fera alors 8,4 mètres de long.
Quelle est la longueur actuelle du quai de Normand?

1. Traduire la situation par une proportion dont l'un des rapports représente un pourcentage et dont l'autre contient un terme manquant au dénominateur (le «cent pour cent»).
Comme Normand allonge le quai de 20%, le pourcentage représentant le quai allongé est de |100\% +20\%=\color{blue}{120\:\%}|. On sait donc que |\color{blue}{120\:\%}| correspond à |\color{blue}{8,4}\:\text{m}|.
||\displaystyle \frac{\color{blue}{120}}{100}=\frac{\color{blue}{8,4}\:\text{m}}{?\:\text{m}}||
2. Calculer le «cent pour cent» à l'aide du produit croisé ou de la méthode de son choix.
||\begin{align}120\times ?&=100\times 8,4\\ \\?&=\frac{100\times 8,4}{120}\\ \\?&=7\end{align}|| La longueur actuelle du quai de Normand est donc de |7| mètres.

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