Mathématique m1265

Les cas de congruence (d'isométrie) des triangles

​​​​​Contrairement à l'arithmétique, les cas de congruence dans les triangles sont en lien avec la démonst​​ration plutôt qu'avec les opérations mathématiques.​

Avant d'entreprendre la démonstration, il faut d'abord être à l'aise avec le concept de conditions minimales.

On appelle conditions minimales (ou cas de congruence) les caractéristiques minimales permettant d'affirmer que deux triangles sont congrus. ​

​Les cas de congruence (d'isométrie) de triangles

Côté - Côté - Côté (C-C-C)

Plus précisément, cette condition minimale met l'accent sur le fait que deux triangles seront isométriques si la mesure de chacun des côtés homologues est équivalente.


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Avant d'entreprendre une telle démarche, il est important de bien identifier les paires de côtés homologues. Dans le cas précédent, c'est une rotation qui associe les deux triangles et c'est la raison pour laquelle |\overline{AC}| et |\overline{EG}| sont homologues. Finalement, on applique le même raisonnement pour les deux autres paires de côtés homologues.

Côté - Angle - Côté (C-A-C)

Pour respecter cette condition minimale, il faut que deux triangles possèdent un angle homologue congru qui est inclus entre deux paires de côtés homologues congrus.


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Comme il est mentionné plus haut, il est très important que l'angle choisi soit formé par les paires de côtés homologues analysées. Si l'angle n'est pas au bon endroit, les deux triangles ne seront pas isométriques.

Ceci n'est pas un cas de congruence !



Pour appliquer la condition minimale C-A-C, on doit absolument considérer l'angle qui est formé par les paires de côtés homologes, soient |\angle ACB| et |\angle EFG|.
Or, c'est |\text{m} \ \angle CBA = \text{m} \ \angle EFG| et non |\text{m} \ \angle ACB|.

Donc, on ne peut pas affirmer que les deux triangles sont congrus.

Angle - Côté - Angle (A-C-A)

Dans un même ordre d'idées, lorsqu'il y a une paire de côtés homologues congrus qui sont situés entre deux paires d'angles homologues congrus, les deux triangles sont forcément isométriques.



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​Une fois de plus, la position dans les triangles des paires de côtés homologues et d'angles homologues est primordial. Dans le cas présent, si la paire de côtés homologues ne se situent pas entre les deux paires d'angles homologues, les deux triangles ne seront pas isométriques.

Cedi n'est pas un cas de congruence

Dans le |\Delta ABC|, le côté qui mesure 4,17 cm n'est pas compris entre les angles de |40,4^\circ| et de |56,4^\circ| alors que c'est le cas dans |\Delta DEF|.

​Bref, l'ordre dans lequel les conditions minimales sont données est très important puisqu'il fait état de la positition de chacun des éléments par rapport aux autres.

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Les exercices
Les références