Mathématique m1268

Les mesures manquantes de solides semblables, équivalents ou de même aire

​ En utilisant les concepts d'équivalence, de similitude et de même aire, on peut travailler avec les opérations inverses et trouver des mesures manquantes

Mesure manquante de solides semblables​​

En guise de rappel, les solides semblables sont des solides dont les mesures d'angles homologes sont congrues, dont la proportion des côtés homologues est la même et dont les solides ont une allure similaire. Avec ces caractéristiques, on peut trouver des mesures manquantes.

En sachant que les solides suivants sont semblables, détermine la mesure du côté A.
​​​Comme ces solides sont semblables, les mesures des côtés homologues sont proportionnelles. Ainsi,

||​ \frac{10\ \mathrm{cm}}{5 \ \text{cm}}=\frac{A}{2 \ \mathrm{cm}}||

Avec l'aide du produit croisé, on obtient que la valeur de A est égale à 4 cm.

Mesure manquante de solides équivalents

​Au niveau de la notion d'équivalence, c'est la mesure du volume qui est mise à profit.

Si on sait qu'une sphère et un prisme rectangulaire sont équivalents et que les dimensions du prisme sont les suivantes: 2 cm par 5 cm par 3 cm, quelle est la mesure du rayon de cette sphère?

Comme la sphère et le prisme sont équivalents, ils ont le même volume. Avec les informations que l'on possède, on peut calculer le volume en question pour ensuite déduire la mesure du rayon.

1)Volume d'un prisme rectangulaire
||\begin{align} \text{Volume}_\text{prisme} &= A_b \cdot h \\
&= 2 \cdot 5 \cdot 3 \\
&= 30 \ \text{cm}^3 \end{align}||
2) Trouver la mesure manquante selon le volume

Puisqu'ils sont équivalents, on sait que:
||\begin{align} ​\text{Volume}_\text{sphère} & = 30 \ \text{cm}^3 \\
\Rightarrow \frac{4 \pi r^3}{3} &= 30 \\
4 \pi r^3 &= 90\\
r^3 &\approx 7,17 \\
r &\approx 1,93 \end{align}​||​

Avec l'aide des opérations inverses, on obtient que le rayon de la sphère est d'environ 1,93 cm.​

Mesures manquante de solide de même aire

Comme le sous-titre le propose, on va maintenant travailler avec l'aire des solides. Par contre, il est bien important de se rappeler que c'est de l'aire totale qui est question et non de l'aire des bases ou de l'aire latérale.​

En sachant que ces deux solides sont de même aire, trouve la mesure de l'apothème du cône.
m1267i15.PNG 
Les deux solides ont la même aire totale. Avec les informations données, il est possible de calculer cette aire pour ensuite déduire de la mesure de l'apothème.

1) Calculer l'aire totale du cylindre​

||\begin{align} \text{Aire totale}_\text{cylindre} &= P_b \cdot h + 2 \cdot A_b \\
&= 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 10 + 2 \cdot \pi 3^2 \\
&= 245 \ \text{cm}^2 \end{align}||
2) Trouver la mesure manquante selon l'aire totale
||\begin{align} \text{Aire totale}_\text{cône} &= 245 \ \text{cm}^2\\
\Rightarrow \pi \cdot r \cdot a + \pi \cdot r^2 &​= 245\\
12,56 \cdot a + \pi \cdot 4^2 &= 245 \\
12,56 \cdot a &\approx 194,76 \\
a &\approx 15,5 \end{align}||

En utilisant les opérations inverses, on obtient que la mesure de l'apothème du cône est d'environ 15,5 cm.​
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