Mathématique m1270

L'homothétie

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Parfois, il arrive qu'une figure doive se faire agrandir ou rétrécir. Lorsque la figure finale obtenue conserve les mêmes proportions que la figure initiale, il sera question d'homoth​étie.

L’homothétie, notée |h_{(O,k)}|, est une transformation géométrique qui permet d’agrandir ou de réduire une figure selon un rapport d'homothétie |k| et un centre |O|.

De plus, les expressions     «rapport de similitude» et «rapport d'homothétie» représentent la même quantité et sont représentées par la même variable |k|.

Ainsi, une homothétie a pour conséquence d'agrandir ou de diminuter de façon proportionnelle les mesures des côtés d'une figure.

L'animation suivante démontre une |h_{(\text{Centre},-2)}| du quadrilatère |ABCD|.
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Effet du rapport d'homothétie |k| sur l'image

En ce qui concerne ce rapport, il influence la taille de la figure image obtenue par homothétie. En plus d'influencer la mesure des segments, il peut également avoir un impact sur l'orientation de la figure.

Rapport d'homothétie positif |(k>0)|

Lorsqu'il est positif, les sommets des figures initiale et image sont du même côté par rapport au centre d'homothétie.

Exemple d'agrandissement |(k>1)|
Le rectangle A'B'C'D' a été obtenu par l'homothétie de centre O du rectangle ABCD selon un rapport d'homothétie |k = 2|.
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Exemple de réduction |(0<k<1)|
Le rectangle E'F'G'H' a été obtenu par l'homothétie de centre O du rectangle EFGH selon un rapport d'homothétie |k = 0,25|.
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Rapport d'homothétie négatif|(k<0)|

Lorsqu'il est négatif, les sommets des figures initiale et image sont de part et d'autre par rapport au centre d'homothétie.

Exemple d'agrandissement |(k<-1)|
Le trapèze A'B'C'D' a été obtenu grâce à l'homothétie du trapèze ABCD selon un rapport d'homothétie |k = -1,5|.
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Exemple de réduction |(-1<k<0)|
Le trapèze E'F'G'H' a été obtenu grâce à l'homothétie du trapèze EFGH selon un rapport d'homothétie |k = -0,75|.
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​En gardant ces relations en mémoire, on peut plus facilement valider le résultat associé à la figure image lors de la construction d'une homothétie.

Construction d'une figure par homothétie

Pour réaliser une homothétie, on doit connaître le centre d'homothétie et le rapport d'homothétie |(k)|. Ensuite, on peut s'en remettre à une règle et un crayon.

1) Pour chacun des sommets, tracer une droite qui relie chaque point au centre d'homothétie. Pour faciliter la suite, s'assurer que la droite est prolongée au-delà du centre d'homothétie et du sommet.

2) À l'aide d'une règle, mesurer la distance entre chaque sommet de la figure et le centre d'homothétie.

3) Mulitiplier chacune des distances par le rapport d'homothétie |k|.

4) En allant du bon côté du centre d'homothétie, marquer les distances obtenues sur les segments de droite respectifs en prenant soin de bien identifier chaque sommet image par le symbole « ' ».

5) Rejoindre les sommets images correspondants afin de reconstituer la figure image. ​​

Homothétie lorsque |k| est positif

Lorsque la valeur de |k| est positive et qu'on veut réaliser une homothétie, on effectue chacune des étapes suivantes:

1) Pour chacun des sommets, tracer une droite qui relie chaque point au centre d'homothétie. Pour faciliter la suite, s'assurer que la droite est prolongée au-delà du centre d'homothétie et du sommet.

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2) À l'aide d'une règle, mesurer la distance entre chaque sommet de la figure et le centre d'homothétie.

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3) Mulitiplier chacune des distances par le rapport d'homothétie |k= 1,5|.


|\text{m}\overline{OA'}= \color{blue}{m\overline{OA}}\cdot\color{red}{k}|

|\Rightarrow \text{m} \overline {OA'} = \color{blue}{6} \cdot \color{red}{1,5}|

|\Rightarrow \text{m} \overline{OA'} = 9\ \text{cm}|


|\text{m}\overline{OB'}= 9,3 \ \text{cm}|
|\text{m}\overline{OC'}= 4,5 \ \text{cm} |

4) En allant du bon côté du centre d'homothétie, marquer les distances obtenues sur les segments de droite respectifs en prenant soin de bien identifier chaque sommet image par le symbole « ' ».

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5) Rejoindre les sommets images correspondants afin de reconstituer la figure image.
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Homothétie lorsque |k| est négatif

​Dans ce cas, les étapes à suivre seront les mêmes, mais il y aura un petit changement à apporter au niveau de l'exécution des étapes 1, 3 et 4. Plus précisément, il faudra travailler de l'autre côté du centre d'homothétie |O| et avec la valeur absolue de |k|.

Étape 1
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Étape 2
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Étape 3 avec |k=-1,5|

|\text{m}\overline{OA'}= \color{blue}{m\overline{OA}}\cdot \color{red}{\mid k \mid}|

|\Rightarrow \text{m} \overline {OA'}= \color{blue}{6}\cdot \color{red}{\mid -1,5 \mid}|

|\Rightarrow \text{m} \overline{OA'} = 9 \ \text{cm}|


|\text{m}\overline{OB'}= 9,3 \ \text{cm}|
|\text{m}\overline{OC'}= 4,5 \ \text{cm} |

Étape 4
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Étape 5
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Fait à noter, la valeur du rapport d'homothétie |k| était donnée. Par contre, il peut arriver que l'homothétie complète soit tracée et que la question soit de trouver la valeur de ce fameux rapport.

Calculer le rapport d'homothétie

Il est possible de déterminer le rapport d'homothétie à partir du centre d'homothétie et d'au moins deux points dont un est l'image de l'autre.

|k = \displaystyle \frac{\text{mesure du segment image}}{\text{mesure du segment initial}}|

Les exemples suivants illustrent la procédure à effectuer afin de déterminer le rapport de similitude d'une homothétie.

1) Au besoin, trouver le centre d'homothétie.
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​​​​
2) Mesurer un segment image au choix.
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3) Mesurer le segment initial associé au segment image.
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4) Calculer le rapport d'homothétie |k| selon la formule.
|k = \displaystyle \frac{\text{m} \overline{OC'}}{\text{m} \overline {OC}} = \displaystyle \frac{5}{9,3} \approx 0,54|

5) Déterminer le signe du rapport d'homothétie |k|.
Dans le cas présent, les points |C| et |C'| sont du même côté du centre d'homothétie. Dans ce cas, le rapport d'homothétie est positif.

Alors, |k \approx 0,54|.

Comme il a été mentionné au départ, les concepts de « rapport d'homothétie » et de« rapport de similitude » sont très semblables, mais ce ne sont pas les mêmes mesures de segment qui sont impliquées​.​

Les vidéos
 
Les exercices
Les références