Mathématique m1287

Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

​​​​​​​​​​​Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle expriment un rapport entre les longueurs de deux côtés.

Les rapports trigonométriques sont: le sinus, le cosinus, la tangente, la cosécante, la sécante et la cotangente. Les trois premiers sont traités dans les fiches suivantes alors que les trois autres seront traités dans les fiches portant sur le cercle trigonométrique.

Soit le triangle rectangle ABC ci-dessous:
 
Les différents rapports trigonométriques sont les suivants:

||\begin{align} &\small{\bullet}​ \normalsize ​\sin A& & = \frac{\text{mesure de la cathète opposée à l'angle A}}{\text{mesure de l'hypoténuse}}\\
 &&&= \frac{a}{c}\\\\
&\small{\bullet} \normalsize \cos A &&= \frac{\text{mesure de la cathète adjacente à l'angle A}}{\text{mesure de l'hypoténuse}} \\
&&&= \frac{b}{c}\\\\
&\small{\bullet} \normalsize \tan A &&= \frac{\text{mesure de la cathète opposée à l'angle A}}{\text{mesure de la cathète adjacente à l'angle A}} \\
&&&= \frac{a}{b}\\\\
&\small{\bullet} \normalsize \text{cosec } A &&= \frac{\text{mesure de l'hypoténuse}}{\text{mesure de la cathète opposée à l'angle A}} \\
&&&= \frac{c}{a}\\\\
&\small{\bullet} \normalsize \sec A &&= \frac{\text{mesure de l'hypoténuse}}{\text{mesure de la cathète adjacente à l'angle A}} \\
&&&= \frac{c}{b}\\\\
&\small{\bullet} \normalsize \text{cotan } A &&= \frac{\text{mesure de la cathète adjacente à l'angle A}}{\text{mesure de la cathète opposée à l'angle A}} \\
&&&= \frac{b}{a}\end{align}||

Par ailleurs, certains rapports trigonométriques sont équivalents. Ainsi, en choisissant l'angle et le rapport appropriés, on obtient des valeurs qui sont équivalentes.

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au cosinus de l'autre angle aigu. Par exemple, dans le triangle ci-dessous, on observe les rapports suivants:
|\sin A = \displaystyle \frac{a}{c} = \cos B|
 

Pour bien identifier les rapport​s trigonométriques de base avec sinus, cosinus et tangente, il existe un truc mnémotechnique. 

Il suffit de se souvenir de l'expression SOH - CAH - TOA.

SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
TOA : Tangente = Opposé / Adjacent

Les vidéos
 
Les exercices
Les références