Mathématique m1288

Sinus et arc sinus |(\sin^{-1})|

Trouver la mesure d'un côté avec le rapport trigonométrique |\sin|

​Dans un triangle rectangle, le sinus correspond au rapport trigonométrique entre la mesure de la cathète opposée à l'angle θ et la mesure de l'hypoténuse.

Le sinus est un des trois principaux rapports trigonométriques que l'on retrouve dans un triangle rectangle. Il correspond au rapport suivant: 

||\sin \theta=\displaystyle \frac{\text {mesure de la cathète opposée à l'angle}\, \theta}{\text{mesure de l'hypoténuse}}||

Ainsi, si on veut déterminer les sinus des angles aigus dans le triangle rectangle suivant, on obtient les rapports
||\begin{align} \sin \color{red}{A}&= \frac{\color{red}{a}}{\color{green}{c}} \\
\sin \color{blue}{B}&= \frac{\color{blue}{b}}{\color{green}{c}}\end{align}||

Un truc existe pour se souvenir rapidement des trois premiers rapports trigonométriques. Il suffit de se souvenir de l'expression SOH - CAH - TOA.

SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
TOA : Tangente = Opposé / Adjacent


Dans le triangle ci-dessous, que vaut sin A?
 

||\begin{align*}
 &\sin \theta &=& \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}\\
\Rightarrow &\sin A &=& \frac{a}{c}\\
 & &=& \frac{3}{6}\\
 & &=&0,5
\end{align*}|| 

Trouver la mesure d'un angle avec |\sin^{-1}|(arcsin)

La fonction arc sinus est la réciproque de la fonction sinus.

La réponse d’un arc sinus donne un angle. L’arc sinus répond à la question suivante : « Quel angle me donne un sinus de…? ».

Comparaison entre les fonctions sinus et arc sinus :
|\sin \theta = x| et |\arcsin (x) = \theta|

Pour connaître la mesure d’un angle, on utilise la touche sin-1 de la calculatrice. En fait, sin-1 θ fait référence à la fonction arcsin θ.

|\sin 50^\circ \approx 0,766| et |\arcsin (0,766) \approx​​ 50°|

 

Quelle est la mesure de l'angle A dans le triangle ci-dessous?
 
||\begin{align*}
\phantom{\Rightarrow} &\sin \theta &=&\displaystyle \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} \\
\Rightarrow &\sin A &=& \frac{a}{c} \\
& &=& \frac{3}{6} \\
& &=& 0,5 \end{align*}||
Pour trouver la mesure de l'angle, on doit effectuer l'inverse de la fonction sinus, donc la fonction arc sinus.
||\begin{align*}
\sin A &= 0,5 \\
\color{red}{\arcsin} \sin A &= \color{red}{\arcsin} (0,5)\\
A &= 30^o \end{align*}||
Ainsi, l'angle A mesure 30 degrés.​

Relation avec l'angle de |30^\circ|

​Dans le cas particulier où un des angles aigus du triangle mesure exactement |30^\circ|, la relation entre la mesure de la cathète qui lui est opposée et celle de l'hypoténuse est relativement facile à appliquer.​​​

Dans un triangle rectangle, la mesure de la cathète opposée à l'angle de |30^\circ| est toujours égale à la moitié de celle de l'hypoténuse. ​​

​Quelle est la mesure du segment |\overline {AB}| du triangle qui suit?
m1288i11.PNG 
1. Identifier les caractéristiques du triangle
Dans le cas présent, on travaille avec un triangle rectangle qui possède un angle de |30^\circ| dont on cherche la mesure du côté qui lui est opposé. 

2. Appliquer la relation de l'angle de |30^\circ|
Selon cette relation:
||\begin{align*}
\text{côté opposé à} \ \angle 30^o &= \frac{\text{hypoténuse}}{2}\\
m\ \overline{AB} &= \frac{22}{2}\\
&= 11 \ \text{cm}
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
La mesure de |\overline {AB}| est de |11 \ \text{cm}|.​


Pour démontrer la véracité de cette règle, on doit utiliser le rapport trigonométrique du sinus puisqu'il est question du côté opposé d'un angle et de l'hypothénuse.​

Soit le triangle rectangle suivant:
m1288i10.PNG 
Selon le rapport trigonométrique du sinus:
 ||\begin{align*}
&\sin \theta &=& \frac{\color{blue}{\text{mesure du côté opposé}}}{\color{green}{\text{mesure de l'hypoténuse}}}\\
\Rightarrow  &\sin 30^\circ &=& \frac{\color{blue}{c}}{\color{green}{b}}\\
&\sin 30^\circ \cdot \color{green}{b} &=& \frac{\color{blue}{c}}{\color{green}{b}} \cdot \color{green}{b}\\
&\sin 30^\circ \cdot \color{green}{b} &=& \color{blue}{c}\\
​& \frac{1}{2} \cdot \color{green}{b} &=& \color{blue}{c}
\end{align*}||
Ainsi, on obtient l'égalité énoncée plus haut qui établissait que la mesure de la cathète opposée à l'angle de |30^\circ \ (\color{blue}{c})| est égale à la moitié de la mesure de l'hypoténuse |(\frac{1}{2} \cdot \color{green}{b})|.Ainsi, quand on veut déterminer cette mesure, on peut appliquer directement cette relation​.​​

Les vidéos
Les exercices
Les références