Mathématique m1289

Cosinus et arc cosinus |(\cos^{-1})|

​Dans un triangle rectangle, le cosinus est le rapport de la mesure du côté adjacent à l'angle θ et de l’hypoténuse.

Le cosinus est un des trois rapports trigonométriques que l'on retrouve dans un triangle rectangle.  Il correspond au rapport suivant:

|\cos \theta=\displaystyle \frac{\text {mesure de la cathète adjacente à l'angle}\, \theta}{\text{mesure de l'hypoténuse}}|

Ainsi, si on veut déterminer les cosinus des angles aigus dans le triangle rectangle suivant, on obtient les rapports |\cos \color{red}{A}=\displaystyle \frac{\color{blue}{b}}{\color{green}{c}}| et |\cos \color{blue}{B}=\displaystyle \frac{\color{red}{a}}{\color{green}{c}}|.

Un truc existe pour se souvenir rapidement des trois premiers rapports trigonométriques. Il suffit de se souvenir de l'expression SOH - CAH - TOA.

SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
TOA : Tangente = Opposé / Adjacent

 

Dans le triangle ci-dessous, que vaut cos A ?
m1289i10.PNG  
||\begin{align} \cos \theta &= \frac{Adjacent}{Hypot\acute{e}nuse}\\
&= \frac{b}{c}\\
&= \frac{\sqrt{20}}{5}\\
&=0,894\end{align}||

 

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au cosinus de l'autre angle aigu. Par exemple, dans le triangle ci-dessous, on observe les rapports suivants:
||\cos A = \frac{b}{c} = \sin B||
 

 

Lorsque le triangle a une hypoténuse de 1, on se retrouve dans une situation identique au cercle trigonométrique

Arc cosinus |(\cos^{-1})|

La fonction arc cosinus est la réciproque de la fonction cosinus

La réponse d’un arc cosinus donne un angle. L’arccos répond à la question : « Quel angle me donne un cosinus de…? ».

Comparaison entre les fonctions cosinus et arc cosinus:
|\cos\, \theta = x| et |\arccos (x) = \theta|

Pour connaître la mesure d’un angle on utilise la touche cos -1 de la calculatrice. En fait cos -1 θ fait référence à la fonction arccos θ.

|\cos 50° = 0,6428| et |\arccos (0,6428) = 50°|​

 

Quelle est la mesure de l’angle A dans le triangle ci-dessous?
m1289i11.PNG 
||\begin{align} \cos\, \theta &= \frac{Adjacent}{Hypot\acute{e}nuse}\\
\Rightarrow ​\cos A &= \frac{b}{c}\\
\cos A&=\frac{\sqrt{20}}{5}\\
\cos A &=0,894\\
A &= \arccos 0,894\\
&= 26,6^\circ\end{align}||
Ainsi, la mesure de l'angle A est de 26,6°.
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