Mathématique m1319

La recherche de l'équation d'une droite à partir de coordonnées et/ou de la pente

​On peut distinguer trois cas lorsqu'on cherche l'équation d'une droite:

Trouver l'équation d'une droite à partir de la pente et d’un point

Lorsqu'on recherche l'équation d'une droite à partir de la pente et d'un point, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Dans l'équation |y=mx+b|, remplacer le paramètre |m| par la pente donnée.

2. Dans cette même équation, remplacer |x| et |y| par les cordonnées |(x,y)| du point donné.

3. Isoler le paramètre |b| afin de trouver la valeur de l'ordonnée à l'origine.

4. Écrire l'équation de la droite sous la forme |y=mx+b| avec les valeurs des paramètres |m| et |b|.

Quelle est l’équation de la droite ayant une pente de |3,5| et qui passe par le point |(-6,-28)| ?

Étape 1: On écrit l’équation de la droite en remplaçant |m| par |3,5|.

|y = 3,5x + b|

Étape 2 : À l’aide du point connu, on remplace |y| par |-28| et |x| par |-6|.

|y = 3,5x + b|
|-28 = 3,5(-6) + b |

Étape 3: On isole le paramètre |b|.

|-28 = 3,5(-6) + b |
|-28 = -21 + b |
|-28 + 21=b|
|-7 = b |

Étape 4: On écrit l'équation sous sa forme fonctionnelle avec les paramètres |m=3,5| et |b=-7|

|y = 3,5 x - 7|

Trouver l’équation d'une droite à partir de deux points

Lorsqu'on recherche l'équation d'une droite à partir des coordonnées de deux points, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Déterminer la valeur de la pente à l'aide de la formule suivante: 
|\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}|

2. Dans l'équation |y=mx+b|, remplacer le paramètre |m| par la pente déterminée à l'étape 1.

3. Dans cette même équation, remplacer |x| et |y| par les coordonnées |(x,y)| d'un des deux points donnés (au choix).

4. Isoler le paramètre |b| afin de trouver la valeur de l'ordonnée à l'origine.

5. Écrire l'équation de la droite sous la forme |y=mx+b| avec les valeurs des paramètres |m| et |b|.

Quelle est l’équation de la droite qui passe par les points suivants : |(3,-8)| et |(5,10)| ?

Étape 1 : Il faut d'abord déterminer la valeur de la pente.

|pente=\frac{10--8}{5-3}=\frac{18}{2}=9|

Étape 2 : On écrit l’équation de la droite en remplaçant le paramètre |m| par |9|.

|y = 9x + b|

Étape 3 : À l’aide d’un point connu (on choisit le point |(5,10)|, on remplace |y| par |10| et |x| par |5|.

|y = 9x + b|
|10 = 9(5) + b |

Étape 4: On isole |b|.

|10 = 9(5) + b|
|10 = 45 + b |
|10 - 45 = b|
|-35 = b |

Étape 5: On écrit l'équation sous sa forme fonctionnelle avec les paramètres |m=9| et |b=-35|.

|y = 9x -35|

Trouver l’équation d'une droite à partir de deux points (l’abscisse et  l’ordonnée à l’origine)

Lorsqu’on connaît l’abscisse et l’ordonnée à l’origine, on peut se servir de la forme symétrique pour trouver l'équation d’une droite. On peut suivre les étapes suivantes:

1. Remplacer le paramètre |a| par l'abcisse à l'origine.

2. Remplacer le paramètre |b| par l'ordonnée à l'origine.

3. On peut par la suite (ce n'est pas toujours nécessaire) transformer l'équation ainsi obtenue en équation de forme fonctionnelle ou générale.

Quelle est l’équation de la droite dont l’abscisse à l’origine est |5| et dont l’ordonnée à l’origine est |- 4| ?

Étapes 1 et 2: On remplace le paramètre |a| par |5| et le paramètre |b| par |-4|.

|\displaystyle \frac{x}{5}-\frac{y}{4}=1|
 
Étape 3: On peut transformer cette équation pour qu'elle soit sous la forme générale ou sous la forme fonctionnelle.

1.
On cherche le dénominateur commun entre 5 et 4, donc 20. Pour arriver à 20, on multiplie la première fraction par 4 et la deuxième par -5:

|\displaystyle \frac{x\cdot 4}{5\cdot 4}+\frac{y\cdot-5}{-4\cdot-5}=1|

|\displaystyle \frac{4x}{20}-\frac{5y}{20}=\frac{20}{20} |

2. Puisqu'on a le même dénominateur partout, on peut le simplifier (en multipliant l'équation par 20). Ce qui nous donne:

|4x -5y = 20|

3. On peut transformer l'équation obtenue précédemment sous la forme fonctionnelle en isolant |y|:

|4x -5y -20 = 0|

|4x - 20 = 5y |

|\displaystyle \frac{4x}{5}-\frac{20}{5}=\frac{5y}{5}|

|\displaystyle \frac{4x}{5}-4=y|

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