Mathématique m1334

Probabilités

Les probabilités correspondent à la branche des mathématiques qui cherche à mesurer le caractère aléatoire de ce qui pourrait survenir.
Calculer une probabilité revient donc à quantifier la possibilité qu'un événement se produise lors d'une expérience qui ne découle que du hasard. La probabilité dépend du contexte dans lequel elle se trouve. En effet, elle varie selon l'événement étudié, le type de probabilité recherchée ou le type d'expérience effectuée. Il est possible de faire l'analyse de la probabilité d'un événement et ainsi déterminer le nombre de résultats possibles. De plus, à partir de la probabilité, on peut déterminer les chances de gains ou de pertes entre différents jeux ou événements.

Les notions de base en probabilité

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est uniquement déterminé par le hasard.

Une expérience peut être qualifiée d'aléatoire si elle respecte deux caractéristiques:

  • son résultat ne dépend que du hasard;
  • l'ensemble de tous les résultats possibles peut être décrit avant l'expérience.

|\bullet| Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire.
|\bullet| Lancer une pièce de monnaie est une expérience aléatoire.
|\bullet| Piger une carte dans un jeu de cartes est une expérience aléatoire.
|\bullet| L'ordre des tirages lors d'une soirée de bingo correspond à une expérience aléatoire.

|\bullet| Les expériences aléatoires simples et composées
|\bullet| Les expériences aléatoires composées avec et sans remise
|\bullet| Les expériences aléatoires composées avec et sans ordre

L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est nommé univers des résultats possibles. Son symbole est la lettre oméga (Ω).


|\bullet| L'univers des résultats possibles lors du lancé d'un dé à six faces est: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
|\bullet| L'univers des résultats possibles lors du lancé d'une pièce de monnaie est: Ω = {Pile, Face}.
|\bullet| L'univers des résultats possibles lors de la pige d'une carte dans un jeu de cartes est formé par les 52 cartes du jeu.


Selon le nombre de tirages qu'il y a au cours d'une expérience aléatoire, on détermine le nombre d'étapes qui composent cette expérience. Une expérience peut être simple lorsqu'elle ne comprend qu'une seule étape, ou composée lorsqu'elle en comporte plusieurs. On écrira l'ensemble des résultats obtenus à chaque étape entre parenthèses.

Deux pièces de monnaie sont lancées et on s’intéresse aux faces sur lesquelles elles tombent. Il s'agit d'une expérience aléatoire à deux étapes.

L’univers des possibles est le suivant: Ω = {(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)}
où P représente une pièce de monnaie tombée sur le côté pile et F représente une pièce de monnaie tombée sur le côté face.

Le résultat d'une expérience aléatoire est donc incertain, on ne peut pas le prédire avec certitude. Toutefois, on peut faire une prédiction, c'est-à-dire annoncer un événement futur encore inconnu, mais qui a une chance de se produire.

Un événement est une partie (un sous-ensemble) de l’univers des possibles, qui correspond à un résultat ou à un ensemble de résultats.

Un événement peut correspondre à un seul résultat, à plusieurs résultats ou à l'ensemble des résultats de l'univers des possibles. Il peut aussi ne correspondre à aucun résultat.

|\bullet| Obtenir un 2 ou un 4 lorsqu'on lance un dé à six faces.
|\bullet| Obtenir un chiffre impair lorsqu'on lance un dé à six faces.
|\bullet| Obtenir une carte rouge lorsqu'on pige une carte dans un jeu de 52 cartes.
|\bullet| Obtenir que les deux pièces de monnaie tombent du même côté lorsqu'on lance deux pièces de monnaie.

On peut qualifier les événements de diverses façons:

|\bullet| Un événement élémentaire ne contient qu'un seul résultat de l'univers des possibles.

|\bullet| Un événement impossible ne contient aucun résultat de l'univers des possibles puisqu'il ne peut pas se produire.

|\bullet| Un événement certain contient tous les résultats de l'univers des possibles puisqu'il se produit toujours.

|\bullet| On dit qu'un événement est presque impossible lorsqu'il a peu de chances de se réaliser.

|\bullet| On dit qu'un événement est presque certain lorsque les chances qu'il se réalise sont très élevées.

|\bullet| Les types d'événements
Une probabilité est une valeur qui indique la chance d’obtenir un résultat précis parmi tous les résultats possibles. Cette valeur est toujours comprise entre 0 et 1.

Pour un événement, une probabilité est égale au rapport entre le nombre de résultats favorables et le nombre de résultats possibles de l'expérience aléatoire.

On peut l’écrire ainsi :

|Probabilit\acute{e}=\displaystyle \frac{nombre\: de\: cas\: favorables}{nombre\: de\: cas\: possibles}|

On peut exprimer une probabilité à l'aide d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage. Pour noter la probabilité d’obtenir un certain résultat, on utilise la lettre |\mathbb {P}|.

La probabilité d’obtenir un 2 après avoir lancé un dé équilibré à six faces est égale à un sixième. Cette phrase peut être exprimée de la manière suivante:

|\mathbb {P}(\text{ obtenir un } 2) = \frac{1}{6}|

le « 1 » correspond au nombre de faces ayant un 2 (soit le nombre de cas favorables);
le « 6 » correspond au nombre de faces du dé (soit le nombre de cas possibles).

Cette probabilité peut aussi être exprimée en nombre décimal ou en pourcentage:
|\mathbb {P}(\text{ obtenir un } 2) = 0,1\overline{6} \approx 16,7\%|


Lors d’un tirage au sort, on place une fois le nom de Georges dans un chapeau, une fois le nom de Mélanie et une fois le nom de Bill. On effectue le tirage. Quelle est la probabilité de piger le nom de Georges?

Le nombre de cas favorables est égal à 1 (piger le nom de Georges) et le nombre de cas total est égal à 3 (piger le nom de Georges, piger le nom de Mélanie et piger le nom de Bill).

On obtient donc la probabilité suivante :
|\mathbb{P}(\text{piger le nom de Georges}) = \frac{1}{3}|


Dans un tirage au sort, le nom de Georges apparaît trois fois, celui de Mélanie deux fois et celui de Bill cinq fois. Quelle est la probabilité de piger le nom «Bill»?

Étape 1 : On calcule le nombre total de possibilités .
Combien y a-t-il de noms au total dans le chapeau ? Il y a 10 noms (3 + 2 + 5).

Étape 2: On calcule la probabilité demandée.
|\mathbb {P}(\text{piger le nom de Bill}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}|

Ainsi, il y a 1 chance sur 2 que le nom de Bill soit tiré . Il est important de noter qu’une probabilité est habituellement notée sous la forme d’une fraction irréductible.


|\bullet| Les types de probabilités
|\bullet| Les probabilités géométriques
|\bullet| Les probabilités conditionnelles

Lorsqu'un événement est composé de plusieurs événements élémentaires, la probabilité de cet événement est égale à la somme des probabilités des résultats qui le composent.

|\mathbb{P}(\text{A ou B}) = \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)|

On lance un dé à six faces. Quelle est la probabilité de l'événement « obtenir un 2 ou un 4 »?
|\mathbb{P}(\text{obtenir un 2 ou un 4}) = \mathbb{P}(\text{obtenir un 2}) + \mathbb{P}(\text{obtenir un 4})|
|\mathbb{P}(\text{obtenir un 2 ou un 4}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} \text{ ou } \frac{1}{3}|


Lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes, la probabilité d'un événement est égale au produit des probabilités des événements intermédiaires composant chaque étape de cet événement.

|\mathbb{P}(\text{A et B}) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)|

On lance un dé à deux reprises. Quelle est la probabilité de l'événement « obtenir un nombre pair à deux reprises »?

|\mathbb{P}(\text{obtenir un nombre pair à deux reprises}) = |
|\mathbb{P}(\text{obtenir un nombre pair})\times \mathbb{P}(\text{obtenir un nombre pair})|

|\mathbb{P}(\text{obtenir un nombre pair à deux reprises}) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{6}|
|\mathbb{P}(\text{obtenir un nombre pair à deux reprises}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}|


|\bullet| La notion du OU et du ET en probabilités


Les vidéos
 

 

Les exercices
Les références