Mathématique m1345

La notation factorielle

​La notation factorielle, notée |n!|, est la façon d'écrire le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à un nombre |n|, où |n| est un nombre naturel.

Entre autres, cette notation allège les calculs et la démarche de résolution.

||n! = n\times (n-1)\times (n-2)\times \dots \times 3\times 2\times 1||

La notation factorielle permet de simplifier l'écriture de l'opération mathématique à effectuer. Plutôt que d'écrire le produit de tous les nombres entiers impliqués, il suffit d'écrire l'entier dont on veut calculer la factorielle suivi d'un point d'exclamation.

Exemple 1
||\small \begin{align} 3! &= 3 \cdot 2 \cdot 1 \\
&= 6 \end{align}||

Exemple 2
||\small \begin{align} 9! &= 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\
&= 362 \ 880 \end{align}||

Exemple 3
||\small \begin{align} 13! &= 13 \cdot 12 \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\
&= 6 \ 227 \ 020 \ 800 \end{align}||

Comme c'est le cas pour plusieurs opérations mathématiques, il existe un cas particulier avec le 0.

​Par convention, |0!=1|.En ce qui concerne son utilisation concrète, la notation factorielle est surtout utilisée en probabilité pour déterminer le nombre de permutations​ possibles des éléments d'un ensemble.

Question
Un tirage au sort permet de déterminer l'ordre dans lequel les |\small 5| numéros d'un spectacle seront présentés. Combien de possibilités y a-t-il?

Réponse
Cette situation comporte |\small 5| événements. Il y a donc |\small 5| choix possibles pour le premier numéro. Par la suite, cela signifie qu'il ne reste que |\small 4| choix possibles pour le deuxième numéro et ainsi de suite. Afin de déterminer le nombre de possibilités totales d'ordre de présentation des numéros, il suffit de tout multiplier.
 
||\small \begin{align} \text{Nombre total de possibilités} &= 5\times 4\times 3\times 2\times 1 \\ &= 5! \\ &= 120\end{align}||

Les vidéos
Les exercices
Les références