Mathématique m1351

L'espérance mathématique

On définit une variable aléatoire quantitative comme étant une variable qui peut prendre différentes valeurs dans une expérience aléatoire.

Soit la variable aléatoire |X|, on peut donner la distribution des probabilités de la façon suivante:

où la première rangée correspond aux différents résultats d'une expérience aléatoire et où la seconde rangée correspond aux différentes probabilités pour chacun des résultats.

On définit l'espérance mathématique d'une variable aléatoire comme étant la somme des produits des valeurs d'une variable aléatoire par leur probabilité.

En d'autres mots, l'espérance mathématique correspond à une moyenne pondérée des résultats d'une expérience aléatoire dans laquelle les facteurs de pondération sont les probabilités d'obtenir chacun des résultats.

L’espérance mathématique est souvent notée |\mathbb{E}| ou |\mathbb{EM}|.

Ce concept est habituellement utilisé dans le cadre de jeux de hasard. Dans ce contexte, pour obtenir un gain moyen ou une perte moyenne égal(e) à l’espérance mathématique, il est nécessaire de répéter l’expérience à de nombreuses reprises.


Le calcul et l'interprétation de l’espérance mathématique d’une variable aléatoire

Dans un contexte de jeux de hasard où il y a une mise ou non, on peut calculer l'espérance mathématique.

L'espérance mathématique peut se calculer de deux façons:

-Si on soustrait la mise initiale à chacun des résultats:

|\mathbb{E} = p(x_1)x_1 + p(x_2)x_2 + \dots + p(x_n)x_n|

où chacun des |p(x_i)| correspond à une probabilité associée à un événement et où chacun des |x_i| correspond à un résultat obtenu (résultat auquel on a soustrait la mise initiale).

-Si on soustrait la mise initiale à la fin du calcul:

|\mathbb{E} = p(x_1)x_1 + p(x_2)x_2 + \cdots p(x_n)x_n - M|

où chacun des |p(x_i)| correspond à une probabilité associée à un événement, où chacun des |x_i| correspond à un résultat obtenu (on ne soustrait pas la mise initiale) et où |M| est la mise initiale.

Remarque: Les deux formules présentées ci-haut donnent le même résultat.

|\bullet| Lorsque l’espérance mathématique est égale à 0 (|\mathbb{E}=0|), on dit que le jeu est équitable. Cela signifie que si on participe à un tel jeu, en moyenne, on ne perdra pas d’argent, mais on n’en gagnera pas non plus. Ce jeu n'est donc pas à l'avantage du joueur ou de l'organisme qui fait le jeu.

|\bullet| Lorsque l’espérance mathématique est négative (|\mathbb{E}<0|), cela signifie qu’en moyenne, le joueur perdra de l’argent à chaque essai. Donc, le jeu est avantageux à l'organisme qui organise le jeu. Ce montant perdu à chaque essai sera en moyenne égal à l’espérance mathématique.

|\bullet| Lorsque l’espérance mathématique est positive (|\mathbb{E}>0|), cela signifie qu’en moyenne, le joueur gagnera de l’argent à chaque essai. Ce montant gagné à chaque essai sera en moyenne égal à l’espérance mathématique.

Remarques:
1. Dans un calcul d'espérance mathématique, il est préférable de ne pas réduire les fractions.
2. Il faut s'assurer de n'oublier aucun résultat dans nos calculs.
3. Il n'y a pas toujours de mise initiale.

Avec mise initiale

Un jeu consiste à faire tourner une roulette. La mise initiale à ce jeu est de 2,00$. Les prix vont ainsi:
-Si la roulette s'arrête sur la partie rouge, le joueur remporte 4 fois sa mise.
-Si la roulette s'arrête sur la partie orange, le joueur remporte 4 fois sa mise.
-Si la roulette s'arrête sur la partie mauve, le joueur remporte 3 fois sa mise.
-Si la roulette s'arrête sur la partie verte, le joueur remporte 5 fois sa mise.
-Si la roulette s'arrête sur la partie bleue, le joueur ne gagne rien.

Les probabilités pour chacune des parties sont inscrites sur le dessin.

Ce jeu est-il équitable ?

Pour répondre à la question, il faut calculer l'espérance mathématique.

-Avec la soustraction de la mise de tous les résultats:

Il faut déterminer l'espérance mathématique de ce jeu.

Pour effectuer les calculs, il est préférable de remplir un tableau où on indique pour chaque probabilité le résultat obtenu. Dans ce tableau, on a soustrait la mise.
-Rouge: 4 fois la mise à laquelle on soustrait la mise.
-Orange: 4 fois la mise à laquelle on soustrait la mise.
-Mauve: 3 fois la mise à laquelle on soustrait la mise.
-Verte: 5 fois la mise à laquelle on soustrait la mise.
-Bleue: Le joueur ne gagne rien.

On obtient le tableau:


On calcule l'espérance mathématique:
|\mathbb{E} = \displaystyle \frac{3}{24} \times 6,00 + \frac{3}{24} \times 6,00 + \frac{6}{24} \times 4,00 + \frac{2}{24} \times 8,00 + \frac{10}{24} \times -2,00|
|\mathbb{E} \approx 2,33 \$|

-Avec la soustraction de la mise à la fin seulement:

On obtient le tableau suivant:


On calcule l'espérance mathématique:
|\mathbb{E} = \frac{3}{24} \times 8,00 + \frac{3}{24} \times 8,00 + \frac{6}{24} \times 6,00 + \frac{2}{24} \times 10 + \frac{10}{24} \times 0,00 - \color{red}{2,00}|
|\mathbb{E} \approx 2,33\$ |

Il est normal que les deux calculs d'espérance donnent le même résultat.

On peut maintenant répondre à la question en disant que ce jeu est favorable au joueur. En effet, l'espérance mathématique est supérieure à 0 (2,33$).

Sans mise initiale

Cynthia offre le pari suivant à Catherine :

Pige une carte dans ce jeu de 52 cartes. Si tu piges un as, je te donne 5$. Si tu tires une figure, je te donne 2$. Si tu piges une autre carte, tu me donnes 1,50$.

Catherine devrait-elle accepter le pari proposé par Cynthia?

Avant de répondre à cette question, Catherine devrait calculer l’espérance mathématique de ce jeu.

Si elle obtient un résultat négatif, elle ne devrait pas participer, puisqu’en moyenne, si elle joue à plusieurs reprises, elle perdra de l’argent. Au contraire, si l’espérance mathématique du jeu est positive, elle devrait accepter le pari, puisqu’en moyenne, elle gagnera de l’argent.

De plus, ce jeu n'a pas de mise initiale.

Le jeu de cartes contient quatre as sur un total de cinquante-deux cartes. La probabilité de piger un as est donc de 4/52 ou de 1/13. Cet événement est associé à un gain de 5$.

Le jeu de cartes contient douze figures (quatre valets, quatre dames, quatre rois) sur un total de cinquante-deux cartes. Cela correspond à une probabilité de 12/52 ou de 3/13. Cet événement est associé à un gain de 2$.

Il y a trente-six autres cartes (ni un as, ni un roi, ni une dame, ni un valet) dans un jeu de cartes. Cela correspond donc à une probabilité égale à 36/52 ou 9/13. Cet événement est associé à une perte de 1,50$ ou encore à un gain de –1,50$.


On peut maintenant calculer l'espérance mathématique:
|\mathbb{E} = \displaystyle \frac{1}{13} \times 5,00 + \frac{3}{13} \times 2,00 + \frac{9}{13} \times -1,50|
|\mathbb{E} \approx  -0,19 \$|

L’espérance mathématique est négative. En moyenne, Catherine perdra de l’argent. Elle ne devrait pas accepter le pari de Cynthia.

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Les exercices
Les références