Mathématique m1352

Les probabilités géométriques

Lorsqu’on étudie les probabilités, on le fait habituellement dans le contexte d’un tirage avec ou sans remise, d’un jeu de cartes, du temps qu’il fera, etc. Il est également possible de le faire à l’aide de la géométrie, en faisant appel à différents rapports (ou différentes fractions). C’est ce qu’on appelle la probabilité géométrique.

Note : Dans tous les exemples qui suivront, on considère que la probabilité d’atteindre un endroit particulier de la figure est égale à celle d’atteindre n’importe quel autre endroit de cette même figure.

La probabilité et les rapports de longueurs

Lorsqu’on souhaite calculer la probabilité qu’une partie d’un objet à une dimension (une ligne) soit atteinte ou choisie, on utilise les rapports de longueurs. La probabilité se calcule ainsi :

|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Longueur à choisir ou à atteindre}}{\text{Longueur totale}}|

Un joueur de soccer botte un ballon vers le fond du terrain représenté ci-dessous. Le ballon reste en tout temps à la hauteur du sol.


Quelle est la probabilité d'atteindre le but ?
Dans ce cas, la probabilité est égale à :
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Longueur du but}}{\text{Longueur du terrain}}|

On calcule directement cette probabilité :
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{8m}{40m} = 0,2|

La probabilité d’atteindre le but est égale à 0,2 ou à 20%.

Un automobiliste souhaite stationner sa voiture dans une rue qui contient deux bornes-fontaines placées comme sur le schéma ci-dessous. Il veut placer sa voiture du côté de la rue où sont placées les bornes-fontaines. On sait qu’il est interdit de se stationner à moins de 5 m d’une borne-fontaine. S’il choisit un emplacement aléatoirement, quelle est la probabilité que l’extrémité avant de sa voiture soit dans une partie de la rue où le stationnement est interdit?


Dans ce cas, la probabilité est égale à:
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Distance interdite}}{\text{Distance totale}}|

On sait que la distance totale (la longueur de la rue) est égale à 200 m. Il est interdit de se stationner 5 m avant et 5 m après chaque borne-fontaine. Cela signifie une longueur interdite de 10 m par borne-fontaine, donc de 20 m sur la longueur totale de la rue.

On peut maintenant calculer la probabilité :
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{20m}{200m} = 0,1|

La probabilité de se stationner dans une zone interdite est donc égale à 0,1 ou à 10%.

La probabilité et les rapports de mesures d’angles

Lorsqu’on souhaite calculer la probabilité qu’une partie d’un objet soit atteinte ou choisie et qu’on connaît au moins un angle, on peut utiliser les rapports de mesures d’angles. La probabilité se calcule ainsi :

|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Mesure de l'angle délimitant la partie choisie à atteindre}}{\text{Angle délimitant l'objet en entier}}|

On prépare une pizza. Il ne reste qu’une seule olive, mais on décide tout de même de la placer sur la pizza. Une fois le repas terminé, on coupe deux morceaux délimités par un angle au centre égal à 60° (voir le schéma ci-dessous).

Quelle est la probabilité que l’olive se situe dans l’une des deux pointes ainsi coupées?

Dans ce cas-ci, la probabilité est égale à:
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Angle délimitant les morceaux de pizza coupés}}{\text{Angle formé par la pizza entière}}|

L’angle formé par la pizza entière est égal à 360°, puisqu’elle forme un disque complet.

Lorsqu’on coupe le premier morceau, on le fait selon un angle au centre de 60°. Au cours de la seconde coupe, on prend un morceau formant un autre angle de 60°. On aura donc coupé une partie de la pizza délimitée par un angle total de 120°.

On calcule maintenant la probabilité :
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3} = 0,33|

La probabilité qu’une des deux personnes ait l’olive dans son morceau de pizza est égale à 0,33 ou à 33%.

La probabilité et les rapports de périmètres

Il est également possible de calculer des probabilités à l’aide de rapports de périmètres. Ce calcul ressemble beaucoup à un calcul de rapports de longueurs, puisqu’un périmètre est en fait un cas particulier de longueur.

Des pièces de forme identique servant à former le contour de deux casse-tête ont été mélangées. Le premier casse-tête, une fois terminé, aura les dimensions suivantes : 50 cm de longueur par 30 cm de largeur. Le second casse-tête mesurera 70 cm par 60 cm. Quelle est la probabilité qu’une pièce choisie au hasard appartienne au premier casse-tête?

Dans ce cas-ci, le calcul des « chance pour » se fait ainsi :
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Périmètre du premier casse-tête}}{\text{Périmètre total des deux casse-tête réunis}}|

Le périmètre du premier casse-tête se calcule de la façon suivante :
|2\times 50cm + 2\times 30cm = 160cm|.
Le périmètre du premier casse-tête est égal à 160cm.

On obtient le périmètre du second casse-tête en effectuant le calcul suivant :
|2\times 70cm + 2\times 60cm = 260cm|.
Le périmètre du second casse-tête est égal à 260cm.

Le périmètre totale des deux casse-tête réunis est donc: |160cm + 260cm = 420cm|.

On calcule maintenant la probabilité:
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{160cm}{420cm} = 0,38|

La probabilité que la pièce choisie au hasard appartienne au premier casse-tête est égale à 0,38 ou 38%.

La probabilité et les rapports d’aires

Lorsqu’on souhaite calculer la probabilité qu’une partie d’un objet en deux dimensions soit atteinte ou choisie, on peut utiliser les rapports d’aires. La probabilité se calcule ainsi:

|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Aire choisie ou à atteindre}}{\text{Aire totale}}|

On lance un dard dans le carré suivant. Quelle est la probabilité d’atteindre le cercle?


Dans ce cas, la probabilité d’atteindre le cercle est égale à:
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Aire du cercle}}{\text{Aire du carré}}|

On calcule d’abord l’aire du carré. On sait qu’elle est égale à la mesure du côté au carré. Par conséquent, l’aire du carré correspond à |5cm\times 5cm = 25cm^2|.

On calcule ensuite l’aire du cercle, qui est égale à:
|A = \pi r^2|

Dans ce cas, on sait que le diamètre du cercle est égal à 5cm. Le rayon est donc de 2,5cm. On calcule l’aire et on obtient approximativement 19,63 cm|^2|.

On calcule enfin la probabilité, qui est le rapport entre l’aire du cercle et l’aire du carré:
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{19,63cm^2}{25cm^2} = 0,79|

La probabilité d’atteindre le cercle est de 0,79 ou 79%.

On lance un dard sur la figure suivante (qui n’est pas à l’échelle) :


Quelle est la probabilité d’atteindre une partie bleue ou une partie rouge?

La probabilité d’atteindre une partie rouge ou une partie bleue est égale à:
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Aire des parties rouges + aire des parties bleues}}{\text{Aire totale}}|

On calcule d’abord l’aire totale, qui est égale à la longueur multipliée par la largeur de la figure : |A = 15cm\times 6cm = 90cm^2|. L’aire totale est donc de |90cm^2|.

On calcule ensuite l’aire des parties rouges. Une des parties rouges est située en haut à gauche de la figure. Sa longueur est de 5cm et on peut déduire que sa largeur est égale à 2cm. Son aire est de |5cm\times 2cm = 10cm^2|. La seconde partie rouge est en bas au centre de la figure. Sa longueur est de 8cm et sa largeur de 4cm. Son aire est donc égale à |8cm\times 4cm = 32cm^2|. L’aire des parties rouges est égale à |10cm^2 + 32cm^2 = 42cm^2|.

On calcule enfin l’aire des parties bleues. La première partie bleue est située en haut au centre de la figure. Elle mesure 8cm de longueur et on peut déduire que sa largeur est de 2cm. Son aire est de |8cm\times 2cm = 16cm^2|. L’autre partie bleue est en bas à droite de la figure. Elle mesure 4cm de longueur par 2cm de largeur. Son aire est de |8cm^2|. L’aire des parties bleues est égale à |16cm^2 + 8cm^2 = 24cm^2|.

On peut maintenant calculer la probabilité recherchée, qui est égale au rapport entre la somme des aires des parties bleues et rouges et l’aire totale de la figure.
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{42cm^2 + 24cm^2}{90cm^2} = 0,73|

La probabilité d’atteindre une partie rouge ou une partie bleue est égale à 0,73 ou 73%.

La probabilité et les rapports de volumes

Lorsqu’on souhaite calculer la probabilité qu’une partie d’un objet en trois dimensions soit atteinte ou choisie, on peut utiliser les rapports de volumes. La probabilité se calcule ainsi :

|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Volume choisi ou à atteindre}}{\text{Volume total}}|

On a perdu une aiguille dans une botte de foin mesurant 70 cm par 30 cm par 30 cm et on souhaite la retrouver. Une personne fouille une section cubique de la botte ayant 20 cm de côté. Quelle est la probabilité que l’aiguille soit dans cette section?


Dans ce cas, la probabilité est égale à:
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Volume de la section}}{\text{Volume de la botte}}|

La section est cubique. Son volume est égal à |20cm\times 20cm\times 20cm = 8000cm^3|.  Le volume de la section est donc égal à |8000cm^3|.

On calcule ensuite le volume de la botte de foin (qui est un prisme rectangulaire). Son volume est |70cm\times 30cm\times 30cm = 63 000cm^3|. Le volume de la botte de foin est égal à |63 000cm^3|.

Il reste à calculer la probabilité qui est égale à:
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{8000 cm^3}{63 000cm^3} = 0,13|

La probabilité que l’aiguille se retrouve dans la section fouillée de la botte de foin est égale à 0,13 ou 13%.

On place une cerise au fond d’un pichet contenant un litre de jus d’orange. Une personne se sert un verre de jus de forme cylindrique rempli jusqu’au bord. Le verre a 10 cm de haut et 3 cm de rayon. Quelle est la probabilité que le verre de jus de la personne contienne la cerise?


Dans ce cas, la probabilité est égale à:
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Volume du verre}}{\text{Volume de jus contenu dans le pichet}}|

Il est d’abord important de savoir qu’un litre est égal à |1dm^3|, par définition. Le volume de jus contenu dans le pichet est donc égal à |1dm^3|.

Comme le volume du jus a été exprimé en |dm^3|, il serait utile d’exprimer le volume du verre dans la même unité. On sait que le volume d’un cylindre est égal à:
|V = \pi r^2 h|

Si on exprime le rayon et la hauteur en dm, on obtient un volume égal à |0,28dm^3|. Le volume du verre est égal à |0,28dm^3|.

On peut désormais calculer la probabilité :
|\mathbb{P} = \frac{0,28 dm^3}{1 dm^3} = 0,28|

La probabilité que le verre de jus contienne la cerise est égale à 0,28 ou 28%.

La probabilité et les rapports dans un plan cartésien

Lorsqu’on souhaite calculer une probabilité à l’aide de données prises dans un plan cartésien, il faut être très vigilant lors de la lecture de la question. Il s’agit parfois d’un rapport de longueurs, d’un rapport d’aires ou d’un rapport de volumes. Dans chacun de ces cas, on utilise la même procédure que dans les sections précédentes.

Dans un plan cartésien, on peut observer une droite qui débute à l’origine et qui se termine au point (15,15). Cette droite traverse un carré dont les coordonnées sont indiquées sur le schéma suivant (qui n’est pas à l’échelle) :


On choisit un point au hasard sur la droite. Quelle est la probabilité qu’il soit également dans le carré?

Même si le plan cartésien contient un objet en deux dimensions (le carré), la probabilité recherchée implique un rapport de longueurs (une dimension). Dans ce cas-ci, la probabilité sera égale à:
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Longueur de la diagonale du carré}}{\text{Longueur de la droite}}|

On calcule d’abord la longueur de la droite en se servant de la formule de la distance entre deux points :
|d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}|

Si on cherche la longueur de la droite, on doit utiliser les points (15,15) et (0,0). À l’aide de la formule précédente, on obtient une distance de 21,2 unités. La longueur totale de la droite est égale à 21,2 unités.

On calcule maintenant la mesure de la partie de la droite qui est dans le carré. On connaît les deux sommets du carré auxquels la droite ne touche pas. Il faut donc d’abord déterminer les coordonnées des deux autres sommets du carré. En observant bien la figure, on remarque que ces deux sommets sont situés à (6,6) et à (10,10). En utilisant la formule de la distance entre deux points, on obtient la longueur de la diagonale du carré. La diagonale du carré mesure environ 5,7 unités.

On peut maintenant calculer la probabilité :
|\mathbb{P} = \displaystyle \frac{5,7 \text{unités}}{21,2 \text{unités}} = 0,27|

La probabilité qu’un point choisi aléatoirement sur la droite soit également dans le carré est égale à 0,27 ou 27%.

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