Mathématique m1353

La moyenne

​​​​​​​​​​​De façon générale, on peut résumer la moyenne comme étant une donnée qui représente le centre d'équilibre d'une distribution. Puisqu'il y a différents modes de représentation des données, il existe également différentes méthodes pour calculer une moyenne. En voici quelques exemples:

​Moyenne arithmétique

En général, la moyenne se calcule en faisant la somme de toutes les données et en la divisant par le nombre de données de la distribution.

|\text{Moyenne} = \frac{\text{Somme de toutes les données}}{\text{Nombre de données}}|

Pour alléger la notation, on peut utiliser différents symboles.

Lorsqu'il est question de la moyenne d'un échantillon, le symbole | \overline x| est souvent utilisé.
Par contre, lorsqu'on fait référence à la moyenne d'une population, on utilisera la lettre grecque |\mu|.

​Malgré leur notation qui est différente, la méthode de calcul de la moyenne arithmétique est la même dans les deux cas. 

Voici le nombre de buts marqués par le Canadien de Montréal lors de ses 15 derniers matchs : |0-1-3-2-3-1-3-4-5-2-5-1-3-4-2.|

Quelle est la moyenne du nombre de buts marqués par le Canadien lors de ses 15 derniers matchs?

|\text{Moyenne} = \frac{0+1+3+2+3+1+3+4+5+2+5+1+3+4+2}{15}|

|\text{Moyenne} = \frac{39}{15}|

|\text{Moyenne} = 2,6| buts par match

Lors de cette séquence de 15 matchs, le Canadien a marqué en moyenne 2,6 buts par match. En d'autres mots, on pourrait rationnaliser le tout en disant que le Canadien a marqué exactement 2,6 buts à chacun de ses 15 derniers matchs. 

Bien entendu, il est impossible de marquer 2,6 buts par match, mais c'est simplement une autre façon de formuler la moyenne afin de mieux la comprendre. Voyons un autre exemple pour lequel cette reformulation est plus adéquate.

21 voitures ont circulé sur la rue Notre-Dame le lundi, 34 voitures le mardi, 46 voitures ont circulé le mercredi, 19 voitures le jeudi et 25 voitures le vendredi.

En moyenne, combien de voitures ont circulé sur cette rue à chaque jour?

|\text{Moyenne}=\frac{21+34+46+19+25}{5}|

|\text{Moyenne}=29| voitures par jour

Ainsi, on peut conclure qu'à chacune des cinq journées de la semaine, une moyenne de 29 voitures ont circulé sur cette rue.

Tout comme la majorité des concepts en mathématique, on peut souvent y intégrer de l'algèbre afin de bien vérifier la compréhension du concept initial qu'est la moyenne.

Si on sait que la moyenne de 5 données est 35, mais que l'on ne connait que 4 des 5 données, soit 20,40,45,29. 

Peux-tu déterminer la valeur de la donnée manquante ?

Appelons cette donnée manquante |x| et utilisons la formule de la moyenne arithmétique.

|35 = \frac{20 + 40 + 45 + 29 + x}{5}|

|35 = \frac{134+x}{5}|

À cette étape, il faut isoler |x|.

|35 \times 5 = 134 + x|
|175 = 134 + x |
|175 - 134 = x |
|41 = x|

Ainsi, la donnée manquante est 41.

​Par contre, il est possible de résoudre ce genre de problème en utilisant la définition de la moyenne arithmétique, soit sans avoir à identifier des inconnus et poser des variables.

​Pour la troisième étape, Marie-Claude s'est fixée comme objectif d'avoir une moyenne de 85% en mathématique. Jusqu'à maintenant, elle a obtenu les résultats suivants: 90%, 82% et 81%. 

En considérant que toutes les évaluations ont la même pondération, quel devrait être le résultat de Marie-Claude à sa dernière évaluation pour qu'elle atteigne son objectif?

Selon la définition de la moyenne, on peut reformuler le tout en affirmant que Marie-Claude souhaite avoir 85% à chacune de ses quatre évaluations. Ainsi, en additionnant ce 85% à quatre reprises, on obtient |85 + 85 + 85 + 85 = 340|.

En d'autres mots, elle doit amasser un total de 340% pour atteindre son objectif. Or, elle a déja reçu trois résultats: 90%, 82%, 81%. Donc, après trois évaluations, elle a cumulé un total de 253% (90 + 82 + 81). Ainsi, combien de pourcents lui manque-t-elle pour atteindre le 340%?

On peut trouver cette valeur en faisant 340 - 253 = 87%.

En conclusion, Marie-Claude aura besoin d'une note de 87%. Dans d'autres situations, il peut arriver que le nombre de données soit tellement grand qu'on ait à les regrouper pour favoriser leur représentation. Dans ce cas, le calcul de la moyenne diffère quelque peu.

Moyenne pour des données condensées

En d'autres mots, il s'agit d'une distribution où les mêmes valeurs sont répétées plusieurs fois. Dans ce cas, il est plus simple de les regrouper. Dans ces situations, la moyenne se calcule ainsi :​

|\text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des produits de chaque valeur par leur effectif}}{\text{Nombre total de données}}|

​Concrètement, voyons comment appliquer cette formule

Dans une équipe sportive,  l'âge des 30 athlètes est représenté dans le tableau suivant.
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À la lumière de ces informations, quelle est la moyenne d'âge de ce groupe?

En d'autres mots, l'âge 7 revient à 13 reprises (|7 \times 13|), l'âge 8 revient à 9 reprises (|8 \times 9|), l'âge 9 est présent 6 fois (|9 \times 6|) et l'âge 10 est présent à 2 reprises (|10 \times 2|). 

|\text{Moyenne} = \frac{(7 \times 13) + (8 \times 9) + (9 \times 6) + (10 \times 2)​}{30}|

|\text{Moyenne} = \frac{91+72+54+20}{30}|

|\text{Moyenne} = \frac{237}{30}|

|\text{Moyenne} = 7,9| ans par élève

Finalement, l'âge moyen des élèves de ce groupe est de 7,9 ans. (Ce qui équivaut à 7 ans et presque 11 mois.)

​Outre les exemples impliquant des variables à caractère quantitatif discret, il est également possible de calculer une moyenne avec des variables à caractère quantitatif continu.

Moyenne pour des données groupées en classes

Lorsque les données sont regroupées par classes (intervalles), cela implique un nombre infini de valeurs. Pour relativiser le tout, on considère seulement la valeur médiane de chacune des classes. De cette façon, on peut déterminer la moyenne à l'aide de la formule suivante:

| \text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des produits des milieux de chaque classe par leur effectif}}{\text{Nombre total de données}}|

Afin de bien saisir le sens de cette formule, voici quelques exemples.

Voici la durée (en minute) du trajet en autobus effectué par 337 élèves pour se rendre à leur école.
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Lorsque les données sont présentées en classes, il faut utiliser le milieu de chacune d'elles. Par la suite, c'est avec ces nouvelles valeurs médianes qu'il faudra faire les calculs.
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Avec ces nouvelles données centrales, on est en mesure d'interpréter que la donnée 12,5 est présente 44 fois (|12,5 \times 44|), 17,5 est apparue 58 fois dans la distribution (|17,5 \times 58|) et ainsi de suite. De cette énumération, on en déduit l'équation suivante: 

|\text{Moyenne} = \frac{(12,5 \times 44) + (17,5 \times 58) + (22,5 \times 70) + (27,5 \times 81) + (32,5 \times 54) + (37,5 \times 30)}{337}|

|\text{Moyenne} = \frac{550 + 1015 + 1575 + 2227,5 + 1755 + 1125}{337}|

|\text{Moyenne} = 8247,5 \div 337|

|\text{Moyenne}  \approx 24,47| minutes par élève

En moyenne, chaque élève effectue un trajet d'autobus qui dure approximativement 24,47 minutes (ce qui correspond à 24 minutes et 28,2 secondes).

​Finalement, ces calculs de moyenne se font plutôt bien puisque chaque donnée a le même poids dans le résultat final. Or, il peut arriver que certaines données aient plus d'influence que d'autres. Dans ce cas, il sera question de moyenne pondérée.

​​Moyenne pondérée

Dans le cas d'une moyenne pondérée, elle est utilisée quand les valeurs n'ont pas toutes la même importance par rapport au résultat final. Dans ce cas, on donne une pondération (généralement en pourcentage) à chacune des valeurs. Par ailleurs, la somme des pondérations doit être de 100%.

Dans ce cas, on calcule la moyenne pondérée de la façon suivante :

|\small \text{Moyenne pondérée} = \text{Somme des produits des valeurs par leur pondération}|

Fait à noter, il n'y a plus de division à faire dans le calcul d'une moyenne pondérée. En effet, les notes sont relativisées selon leur pondération et non plus selon la quantité totale de données. 

Voici un tableau qui présente les résultats d'Alexandre lors de ces derniers examens ainsi que leur pondération respective.

                     Résultats d'Alexandre Pondération
Examen 182%20%
Examen 275%35%
Examen 3 86 %45 %


Afin d'avoir la note finale d'Alexandre, calcule la moyenne associée à ces trois résultats. 

Pour faciliter le reste de la démarche, il est idéal d'écrire chacun des pourcentages en nombre décimale. Ainsi, 20% = 0,20, 35% = 0,35 et 45% = 0,45.

Ainsi, la note globale d'Alexandre serait de :

|\text{Moyenne pondérée} = (82 \times 0,20) + (75 \times 0,35) + (86 \times 0,45)|

|\text{Moyenne pondérée} = 16,4 + 26,25 + 38,7|

|\text{Moyenne pondérée} = 81,35|

Au f​inal, la note d'Alexandre sera de 81,35%.​

Dans un deuxième ordre d'idées, on peut trouver une note manquante dans une moyenne pondérée en ayant recours à l'algèbre.

Malgré toutes les bonnes intentions de Julien, il a peur d'échouer son cours d'histoire. Afin de bien comprendre sa situation, Julien a fait le tableau suivant:
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Détermine la note minimale que Julien doit obtenir à sa dernière évaluation afin d'obtenir la note de passage de 60%.

En posant la note manquante comme étant |x|, on peut calculer la moyenne de Julien de la façon suivante:
|60 = (54 \cdot 0,10) + (58 \cdot 0,10) + (62 \cdot 0,30) + (50 \cdot 0,10) + (x \cdot 0,40)|
|60 = 5,4 + 5,8 + 18,6 + 5 + 0,4x| (résultats des parenthèses)
|60 = 34,8 + 0,4x | (réduction de l'équation)
|25,2 = 0,4x| (isole le terme en |x| en faisant |-34,8| des 2 côtés)
|63 = x| (isole le terme en |x| en divisant par |0,4| des 2 côtés)

Finalement, Julien doit avoir un minimum de 63% à son évaluation finale pour réussir son cours.​

Au final, il est important de se rappeler que peu importe la nature de la moyenne à calculer, il sera rarement précisé s'il s'agit d'une moyenne pondérée, d'une moyenne arithmétique ou de tout autre type de moyenne. À ce stade, il en revient à l'élève d'analyser la nature des données afin de choisir la moyenne qui est la plus appropriée. 

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