Mathématique m1356

Les nombres et les ensembles de nombres

​​​U​​n nombre est un concept mathématique servant à compter, évaluer, mesurer, comparer ou ordonner des grandeurs.

On exprime les nombres à l'aide de caractères appelés chiffres.

Un peu comme les mots composés de lettres de l'alphabet, les nombres sont formés par la combinaison de chiffres. Les nombres nous permettent d'exprimer de façon mathématique la grandeur des choses qui nous entourent.

Le nombre |6| représente le nombre d'étoiles contenues dans l'ensemble.
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Le nombre |\text{-}2| est représenté par la position du point A sur la droite numérique.

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Le nombre |72,95| représente le coût en dollars de cette paire de souliers.
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Les nombres peuvent être ordonnés selon un ordre croissant ou décroissant, mais peuvent aussi être classés en ensembles selon leurs caractéristiques.

Les ensembles de nombres

En fonction de leurs caractéristiques, les nombres sont classés en différents ensembles. Le schéma ci-dessous illustre les relations qui existent entre les ces ensembles de nombres.

Comme on peut voir dans ce schéma, l'ensemble des nombres naturels est inclus dans celui des nombres entiers. L'ensemble des nombres entiers est à son tour inclus dans celui des nombres rationnels. Les nombres réels, quant à eux, sont composés de l'union de l'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Le tableau suivant donne un aperçu des différents ensembles.

Ensemble de nombres Description Exemples
Nombres naturels
Nombres qui servent à dénombrer.  |3|;  |5|;  |134|;  |2\ 099|
Nombres entiers
Nombres naturels et leurs opposés.  |\text{-}133|;  |\text{-}9|;   |0|;   |9|;  |915|
Nombres rationnels
Nombres pouvant s'exprimer sous la forme |\frac {a}{b}| où |\small a| et |\small b| sont des entiers et |\small b\neq0|.  |\displaystyle \frac {3}{4}|;  |\displaystyle \text{-}\frac {1}{3}|;  |3|;  |6,4|;  |\text{-}5,\overline {3}|
Nombres irrationnels
Nombres ne pouvant pas s'exprimer comme le quotient de deux nombres entiers.  |\sqrt 2|;  |\sqrt {11}|; |\pi|
Nombres réels
Nombres appartenant à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels.  |\text{-}16|; |\displaystyle \frac {5}{8}|;  |\sqrt 5|;   |7|;  |23,\overline {6}|

Il arrive parfois qu'on ajoute l'ensemble des nombres décimaux |(\mathbb D)| à ces ensembles. Ce dernier regroupe tous les nombres rationnels dont le développement décimal est fini et non-périodique. Il forme donc un sous-ensemble des nombres rationnels qui comprend l'ensemble des nombres entiers (sur le schéma, l'ensemble des nombres décimaux serait représenté par un cercle supplémentaire autour du cercle bleu des nombres entiers et à l'intérieur du rectangle vert des nombres rationnels).

Les notations pour les ensembles de nombres

Certains symboles sont couramment utilisés pour la notation des ensembles de nombres. La tableau suivant résume la liste de ces symboles.

​Symboles​Définition​Exemples
​|\{\ ,\}|​Énumération des éléments d'un ensemble sous forme d'extension.
​  |\{0,1,2,3,4,...\}|
​|\in|​Appartient à, est élément de
​  |3\in \mathbb{N}|
​|\notin|​N'appartient pas, n'est pas élément de
​  |\displaystyle \frac{2}{5}\notin \mathbb{Z}|
​|\subset|​Est inclus dans
​  |\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}|
​|\small \bigcup|​Union de deux ensembles
​  |\mathbb{R}=\mathbb{Q}\ \small{\bigcup}\ \normalsize{\mathbb{Q'}}|
​|*|​Exclusion du nombre zéro. 
​  |\mathbb{N}^*| représente l'ensemble des nombres naturels sans |0|.
​|_+|​Éléments positifs de l'ensemble seulement
  ​|\mathbb{Z}_+| représente l'ensemble des entiers positifs.
​|_-|​Éléments négatifs de l'ensemble seulement
​  |\mathbb{Q}_-| représente l'ensemble des nombres rationnels négatifs seulement.
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