Mathématique m1358

Les logarithmes

​​​Cette fiche est primordiale pour l'étude des fonctions exponentielle et logarithmique.

Un logarithme est un exposant dont il faut, pour obtenir un nombre donné (argument) , affecter un autre nombre appelé base du logarithme.
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On se pose la question «quel exposant faut-il attribuer à la base |c| pour obtenir le nombre |m| ?». C'est ce à quoi correspond le logarithme.

Remarques : Il faut maîtriser le vocabulaire lorsque l'on est sous la forme exponentielle ou la forme logarithmique.

À certaines occasions, on appelle l'argument du logarithme : la puissance.


Par définition du logarithme, on obtient que |c^{\log_c m} = m|.

Il existe plusieurs bases, voici les deux plus fréquentes bases utilisées:

|\bullet| Par convention, lorsque la base du logarithme est 10, on ne l'écrit pas :
|\log_{10}m=\log m|.

|\bullet| On utilise très fréquemment, ce que l'on appelle le logarithme naturel qui est en fait un logarithme dont la base est le nombre |e=2,71828 \hspace{0.2cm} 18284 ...|. Ce nombre est ce que l'on appelle un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il a un développement infini et non périodique.

Lorsque la base du logarithme est |e|, on écrit |\ln | plutôt que |\log_e|.



La base |c| du logarithme doit remplir deux conditions:

1. |c>0|;
2. |c \neq 1|.



L'argument |m| du logarithme doit être supérieur 0.

Exemple 1

|\log_{25} 625=2|

En effet, puisque |25^2=625|. C'est donc l'exposant qu'il faut attribuer à 25 pour obtenir 625.

25 est la base du logarithme, 625 est l'argument du logarithme et 2 est le logarithme.

Exemple 2

|\log_2 8 = 3|

En effet, puisque |2^3=8|. C'est donc l'exposant qu'il faut attribuer à 2 pour obtenir 8.

2 est la base du logarithme, 8 est l'argument du logarithme et 3 est le logarithme.



Malheureusement, il n'est pas toujours possible de calculer un logarithme sans faire usage de la calculatrice. Les prochaines lois permettent de faire beaucoup de calculs.

Calculs logarithmiques

Afin de réduire (ou simplifier) des expressions logarithmiques, il faut appliquer successivement une ou plusieurs propriétés des logarithmes.

Simplifier l'expression suivante de manière à obtenir une expression qui soit seulement en fonction de log2, log3, log5 et de constantes.

log25 + log24 + log¼ - log6 + log8 + log10 + log9

Étape 1

On remarque que le sixième terme est égal à 1, comme le logarithme de b en base b est égal à 1. On obtient
log25 + log24 + log¼ - log6 + log8 + 1 + log9

Étape 2

À l'aide de la loi du logarithme d'un quotient, on simplifie le troisième terme.

log¼=log1 - log4

Comme log1=0, on obtient pour l'expression complète

log25 + log24 -log4 - log6 + log8 + 1 + log9

Étape 3

Les nombres 25, 4, 8 et 9, présents dans les premier, troisième, cinquième et septième termes respectivement peuvent être représentés à l'aide d'une base et d'un exposant. On obtient
log 5 2 + log24 -log 2 2 - log6 + log 2 3 + 1 + log 3 2


Étape 4

À l'aide de la loi du logarithme d'une puissance, on vient placer les exposants à l'avant de chaque terme.

2 log5 + log24 - 2 log2 - log6 + 3 log2 + 1 + 2 log3

Étape 5

À l'aide de la loi du logarithme d'un produit, on décompose l'argument du second terme (24) et l'argument du quatrième terme (6).

2log5 + log (3×2 3 ) -2log2 - log (3×2) + 3log2 + 1 + 2log3

2log5 + log3 +3log2 -2log2 - log3 -log 2 + 3log2 + 1 + 2log3

Étape 6

On regroupe les termes semblables

2log5 + 2log3 + 3log2 + 1

Ceci est le résultat recherché mais ce n'est pas le seul résultat possible.



Simplifier l’expression suivante : 3 ln x + 4 ln x – 2 ln x 3 .

Étape 1

On doit utiliser la 2 e loi et réécrire l’expression. On obtient alors:


ln x 3 + ln x 4 – ln x 6

Étape 2

En lisant de gauche à droite l’expression, on utilise les lois 3 et 4. On aura:

1) ln x 3 x 4 – ln x 6

2) ln x 7 – ln x 6

3) ln (x 7 / x 6 )

4) ln x 1

5) ln x



Voici les preuves pour les différentes lois des logarithmes.
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