Mathématique m1370

Le rang cinquième

Si on travaile avec une distribution qui est plus petite, on peut être tenté d'utiliser le rang cinquième au lieu du rang centile.

​​Un peu comme les quartiles​​​, le rang cinquième, noté|R_{5}|, est utilisé pour ​séparer un ensemble de données en 5 parties généralement égales pour ensuite situer u​ne donnée à l'intérieur d'une de ces séparations.  ​

À l'inverse du rang centile​, une donnée ayant un rang cinquième qui est bas, soit le 1er​, fera partie des données ayant la plus grande valeur dans la distribution.

Pour illustrer le tout, voici un petit schéma.​​

m1370 - 10 (b).PNG

​Il est non seulement important de savoir comment interpréter le rang cinquième, mais il faut aussi être en mesure d'associer le rang cinquième à une donnée précise​.

​​Trouver le rang cinquième à partir de la définition

​Si la distribution n'est pas trop imposante en terme d'effectif total, on peut aisément appliquer la définition pour trouver les rangs cinquièmes, mais il faut faire attention à l'ordre des données de la distribution.

​Voici les tailles (en cm) de quelques enseignants d’une école :
165, 168, 156, 180, 175, 170, 175, 181, 176, 174, 163, 152, 179, 177, 171, 182
Quel est le rang cinquième de 177 cm?

1) Placer les données en ordre décroissant.
182, 181, 180, 179, 177, 176, 175, 175, 174, 171, 170, 168, 165, 163, 156, 152

2) Compter le nombre de données.
Il y a 16 données dans cette distribution.

3) Diviser le nombre de données par 5.
Si on divise 16 par 5, on obtient 3 reste 1. Par conséquent, on devrait avoir 4 groupes de 3 données et 1 groupe de 4 données.

4) Séparer les données en cinq groupes.
|\color{blue}{182, 181, 180},​\color{red}{179, 177, 176}, \color{green}{175, 175, 174}, 171, 170, 168, \color{blue}{165, 163, 156, 152} |

5) Assigner un rang cinquième à chaque groupe.
Selon la définition, le groupe avec les données avec les plus grandes valeur sera le 1er rang cinquième; celui qui le suit sera le 2e rang cinquième et ainsi de suite.​Ainsi, une personne mesurant 177 cm ferait partie du 2e groupe, donc du 2e rang cinquième.

​Par cet exemple, on voit qu'il n'est pas toujours possible de former cinq groupes possédant chacun le même nombre de données. Par contre, il y a deux consignes qu'il faut respecter en tout temps.

1. Former des groupes ayant un nombre de données très similaires
Dans l'exemple précédent, 4 groupes de 3 et 1 groupe de 4 ont été formés. Par contre, il aurait été incorrect de faire 2 groupes de 2, 1 groupe de 3 et 2 groupes de 4. Bref, il faut garder comme référence le résultat de la division faite à l'étape 3 de l'exemple pour approximer le nombre de données dans chacun des rangs cinquièmes.

2. Deux données d'une même valeur doivent faire partie du même rang cinquième
Dans l'exemple ci-dessus, la donnée 175 revient à deux reprises. Comme il s'agit de la même valeur, il faut s'assurer que ces données se retrouvent dans le même rang cinquième.

Dans un autre contexte, il peut arriver que le nombre de données soit trop imposant. Ainsi, il existe d'autres façons de procéder pour calculer les rangs cinquièmes.

Trouver le rang cinquième à partir de la formule​

Parmi ces méthodes, on peut avoir recours à une formule pour déterminer le rang cinquième d'une donnée précise.

|R_{5}(x) = \frac{\text{Nombre de données supérieures à } x + \frac{\text{Nombre de données égales à } x}{2}}{\text{Nombre total de données}} \times 5|

Si le résultat obtenu n’est pas un nombre entier, on doit l’arrondir à l’entier supérieur.​

Dans ce cas, la variable x représente la donnée étudiée et elle variera en fonction du contexte. ​

Voici les tailles (en cm) de quelques enseignants d’une école :
165, 168, 156, 180, 175, 170, 175, 181, 176, 174, 163, 152, 179, 177, 171, 182
Quel est le rang cinquième de 177 cm?

1) Ordonner la distribution
Puisqu'il y a un rapport de grandeur qui est évoqué dans la formule, il est préférable d'ordonner la distribution.

152, 156, 163, 165, 168, 170, 171, 174, 175, 175, 176, 177, 179, 180, 181, 182.

2) Appliquer la formule

|R_{5}(177)=\frac{4 + \frac{1}{2}}{16} \times 5|

|R_{5}(177) \approx 1,41|

En arrondissant à l'entier supérieur, on obtient que |R_{5}(177) =2|, soit le même résultat qu'avec l'application de la définition.

​​Peu importe la méthode utilisée, on arrive à des réponses qui sont valables et équivalentes.​​

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Les exercices
Les références