Mathématique m1389

Le cercle trigonométrique

​​La trigonométrie est la branche des mathématiques qui étudie les fonctions trigonométriques, les relations entre ces fonctions, les relations entre les côtés et les angles d'un triangle ainsi que leurs applications à différents problèmes.


Les angles trigonométriques

Angle au centre et arc de cercle

Un cercle est caractérisé par son centre et la mesure de son rayon.
La portion du cercle comprise entre deux points donnés s’appelle un arc. L’angle formé par les deux rayons qui sous-tendent un arc s’appelle un angle au centre.

La mesure d’un angle trigonométrique

On exprime habituellement la mesure d’un angle en degrés, mais on peut aussi utiliser les radians pour exprimer la mesure d’un angle.

Un radian (1 rad) correspond à la mesure de l’angle au centre dont les côtés interceptent sur le cercle un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle.
 

Dans un angle trigonométrique, on distingue 3 éléments:

|\bullet| le sommet qui se situe à l'origine du plan cartésien;

|\bullet| on appelle côté initial, le côté de l'angle confondu avec l'axe des |x| positifs;

|\bullet| on appelle côté terminal, le côté de l'angle obtenu par la rotation du côté initiale autour de l'origine du plan cartésien.


-Si la rotation du côté initial est effectuée dans le sens anti-horaire, la mesure de l'angle est positive.


-Si la rotation du côté initial est effectuée dans le sens horaire, la mesure de l'angle est négative.

La conversion des degrés en radians et des radians en degrés

La circonférence d’un cercle est le produit de |2\pi| par la mesure du rayon |r| |(C=2\pi\cdot r)|.

Prenons un cercle dont le rayon mesure 1 unité. La circonférence de ce cercle sera alors |C=2\pi\cdot 1= 2\pi|.

Selon la définition d'un radian, l’angle au centre que représente le cercle en entier est donc représenté par la mesure de la circonférence entière. L'angle au centre d'un cercle de rayon 1 mesure alors |2\pi| rad.

On peut donc poser la proportion suivante :

|\frac{la\: mesure\: de\: l'angle\: au\: centre\: en\: degr\acute{e}s}{360^{o}}=\frac{la\: mesure\: de\: l'angle\: au\: centre\: en\: radians}{2\pi \, rad}|

 

Exemple 1:
Trouver en degrés la mesure d’un angle de |\frac{7\pi}{12}|rad.
(on peut remplacer |\pi| par la valeur de 3,1416)

|\frac{\theta\, en\, degr\acute{e}s}{180^{o}}=\frac{\frac{7\pi}{12}rad}{\pi rad}|

|\theta\, en\, degr\acute{e}s=180\cdot\frac{7\pi}{12}\div\pi=105^{o}|

Exemple 2:
Trouver en radians la mesure d’un angle de 270°.

|\frac{270^{o}}{180^{o}}=\frac{\theta\, en\, rad}{\pi rad}|

|\theta\, en\, rad=270\cdot\pi\div180=\frac{3\pi}{2}rad|

La mesure de l’arc intercepté

Dans un cercle, nous pouvons aussi établir la proportion suivante :
|\displaystyle \frac{la\: mesure\: de\: l'angle\: au\: centre\: en\: degr\acute{e}s}{360^{o}}=\frac{la\: mesure\: de\: l'arc\: intercept\acute{e}}{la\: circonf\acute{e}rence\: du\: cercle}|

|\displaystyle \frac{\theta\: en\: degr\acute{e}s}{360^{o}}=\frac{la\: mesure\: de\: l'arc\: intercept\acute{e}}{2\pi r}|

Mais puisque :

|\displaystyle \frac{\theta\: en\: degr\acute{e}s}{360^{o}}=\frac{\theta\: en\: radians}{2\pi rad}|

Par substitution, on peut alors obtenir la proportion suivante :

|\displaystyle \frac{\theta\: en\: radians}{2\pi\: radians}=\frac{la\: mesure\: de\: l'arc\: intercept\acute{e}}{2\pi r}|

Ainsi, les côtés d’un angle au centre de |\theta| radians interceptent un arc dont la longueur |L| correspond à |\theta| fois le rayon.
|\displaystyle \frac{\theta\: en\: radians}{2\pi\: radians}=\frac{L}{2\pi r}|

|\displaystyle \frac{\theta\: en\: radians}{1\; radian}=\frac{L}{r}|

C'est en simplifiant la proportion ci-dessus que l'on obtient: |\theta\cdot r=L|.

Donne le rayon d’un cercle dont la mesure de l’angle au centre et la longueur de l’arc intercepté par cet angle sont 220° et 15 cm.

Transformons tout d’abord 220° en radians.

|\frac{\theta\: en\: degr\acute{e}s}{180^{o}}=\frac{\theta\: en\: radians}{\pi\: rad}|

|\frac{220^{o}}{180^{o}}=\frac{\theta\: en\: radians}{\pi\: rad}|
 
|\frac{220^{o}\cdot\pi\: rad}{180^{o}}=\theta\: en\: radians|

|\frac{11\pi}{9}rad=\theta\: en\: radians|

Trouvons maintenant le rayon.

|\theta\cdot r=L|

|\frac{11\pi}{9}\cdot r=15|

|r=\frac{15}{\frac{11\pi}{9}}|

|r=3,91 \text{ cm}|

Le cercle trigonométrique et les points remarquables

Le cercle trigonométrique (aussi appelé le cercle unité) est le cercle dont le centre correspond à l’origine du plan cartésien (0,0) et dont le rayon mesure 1 unité :

L'équation de ce cercle en coordonnées cartésiennes est |x^2+y^2=1|.

Lorsqu’on mesure un angle dans le cercle trigonométrique, on part toujours du point |(1, 0)|.

Pour trouver les coordonnées de d'autres points sur le cercle trigonométrique, il suffit de connaître la mesure de l'angle au centre et d'appliquer la relation de Pythagore dans un triangle rectangle ayant une hypoténuse de 1 unité.

Dans un triangle rectangle dont l'un des angles mesure 45°, l'autre angle mesure alors 45° aussi puisque la somme des angles intérieurs de tout triangle est 180°. Nous avons donc un triangle rectangle-isocèle:

|x^{2}+y^{2}=r^{2}|
|x^{2}+y^{2}=1|
|x^{2}+x^{2}=1|
|2x^{2}=1|
|x^{2}=\frac{1}{2}|
|x=\sqrt{\frac{1}{2}}|
|x=\frac{1}{\sqrt{2}}|
|x=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}| (on ne garde jamais de racine carrée au dénominateur d'une fraction)
|x=\frac{\sqrt{2}}{2}|

Dans un triangle isocèle, les deux côtés du triangle ont la même mesure.

|y=\frac{\sqrt{2}}{2}|

Dans un triangle rectangle comportant un angle de 30°, la mesure du côté opposé à l’angle de 30° est égale à la demi-mesure de l’hypoténuse. Ainsi, comme l'hypothénuse est le rayon et que le rayon mesure 1: |y=\frac{1}{2}|

|x^{2}+y^{2}=r^{2}|
|x^{2}+\frac{1}{2}^{2}=1|
|x^{2}+\frac{1}{4}=1|
|x^{2}=1-\frac{1}{4}|
|x^{2}=\frac{3}{4}|
|x=\sqrt{\frac{3}{4}}|

|x=\frac{\sqrt{3}}{2}|





 

 

Donc les coordonnées du point sont:  |\displaystyle P(\frac{\pi}{4})=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})|.Donc les coordonnées du point sont: |\displaystyle P(\frac{\pi}{6})=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})|.

À partir de ces informations, voici les coordonnées de quelques points du cercle trigonométrique associées à certains angles remarquables.



- Chacun de ces points est appelé point trigonométrique |P(\theta)| où |\theta| est le mesure d'un angle en radians.  En bref, un point trigonométrique est un point situé sur le cercle trigonométrique.

- Les coordonnées |(x,y)| de chacun de ces points représentent respectivement |\cos \theta| et |\sin \theta|.

|P(\theta)=(x,y)= (\cos \theta,\sin \theta)|

- L'équation du cercle trigonométrique |x^2+y^2=1| devient donc:
|\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1|.

 

Il est intéressant de remarquer l'agencement des points trigonométriques remarquables. En effet, lorsque l'on connaît les points du premier quadrant du plan cartésien, on obtient les autres points en effectuant des réflexions par rapport aux axes. Il n'y a alors que les signes des coordonnées qui changent.

Par exemple, un point |(x,y)| du premier quadrant deviendra |(-x,y)| dans le second quadrant.

Il n'est donc pas nécessaire de mémoriser en entier le cercle trigonométrique. Il faut plutôt apprendre le premier quadrant.

Degrés ° Radians (|rad|)|x=\cos \theta||y=\sin \theta||P(\theta)=(x,y)=(\cos \theta, \sin \theta)|
|0||0||1||0||(1,0)|
|30||\frac{\pi}{6}||\frac{\sqrt{3}}{2}||\frac{1}{2}||(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})|
|45||\frac{\pi}{4}||\frac{\sqrt{2}}{2}||\frac{\sqrt{2}}{2}||(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})|
|60||\frac{\pi}{3}||\frac{1}{2}||\frac{\sqrt{3}}{2}||(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})|
|90||\frac{\pi}{2}||0||1||(0,1)|
|120||\frac{2\pi}{3}||-\frac{1}{2}||\frac{\sqrt{3}}{2}||(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})|
|135||\frac{3\pi}{4}||-\frac{\sqrt{2}}{2}||\frac{\sqrt{2}}{2}||(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})|
|150||\frac{5\pi}{6}||-\frac{\sqrt{3}}{2}||\frac{1}{2}||(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})|
|180||\pi||-1||0||(-1,0)|
|210||\frac{7\pi}{6}||-\frac{\sqrt{3}}{2}||-\frac{1}{2}||-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})|
|225||\frac{5\pi}{4}||-\frac{\sqrt{2}}{2}||-\frac{\sqrt{2}}{2}||(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})|
|240||\frac{4\pi}{3}||-\frac{1}{2}||-\frac{\sqrt{3}}{2}||(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})|
|270||\frac{3\pi}{2}||0||-1||(0,-1)|
|300||\frac{5\pi}{3}||\frac{1}{2}||-\frac{\sqrt{3}}{2}||(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})|
|315||\frac{7\pi}{4}||\frac{\sqrt{2}}{2}||-\frac{\sqrt{2}}{2}||(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})|
|330||\frac{11\pi}{6}||\frac{\sqrt{3}}{2}||-\frac{1}{2}||(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})|
|360||2\pi||1||0||(1,0)|

Lorsque l'on travaille avec le cercle trigonométrique, on utilise généralement les radians plutôt que les degrés.

Un point est-il sur le cercle trigonométrique ?

Ce n'est pas tout de connaître les points remarquables du cercle trigonométrique. Il faut également pouvoir déterminer si un point donné est sur le cercle trigonométrique.

Lorsque l'on connaît les coordonnées cartésiennes du point, il faut vérifier si la relation |x^2+y^2=1| est respectée. Si ce n'est pas le cas, le point donné n'est pas sur le cercle trigonométrique. 

Le point |(0,6;0,8)| est-il sur le cercle trigonométrique ?

On remplace |x| et |y| dans |x^2+y^2=1| par les valeurs du point donné.

|0,6^2 + 0,8^2 = 0,36 + 0,64 = 1|

On peut donc affirmer que le point |(0,6;0,8)| est sur le cercle trigonométrique.

Le point |(1/4, 2/3)| est-il sur le cercle trigonométrique ?

On remplace |x| et |y| dans |x^2+y^2=1| par les valeurs du point donné.

|(1/4)^2 + (2/3)^2 = 1/16 + 4 /9 = 73/144 \neq 1|

Ainsi, le point |(1/4, 2/3)| n'est pas sur le cercle trigonométrique.

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