Mathématique m1405

La translation

​​Lorsque vient le temps de déplacer des figures géométriques dans un plan, la translation peut être utilisée.

​​Définition

​Plus précisément, on peut la définir de la façon suivante:​​

​La translation, notée |t_{(x,y)}|, est une transformation géométrique qui permet d'obtenir une figure image à partir d'une figure initiale suite à un «glissement» de |x| unités horizontalement et |y| unités verticalement.

De plus, on peut définir une translation avec une flèche de translation t qui indique:

  • la direction du déplacement par son inclinaison;
  • le sens du déplacement par sa pointe;
  • la distance entre les points homologues de la figure initiale et de la figure image par sa longueur.
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La translation est une transformation géométrique qui génère des figures isométriques. La figure initiale et la figure image ont donc la même forme et les mêmes dimensions. Ainsi, on qualifie la translation d'isométrie (tout comme la rotation et la réflexion).

Tous les points de l'image issue d'une translation peuvent être associés aux points correspondants de la figure initiale par une seule et même flèche, la flèche de translation.

En d'autres mots, on qualifie d'homologues les points qui occupent la même position dans les figures initiale et image d'une translation.

Afin de distinguer les points homologues de la figure initiale et de la figure image, on utilise ​le symbole ' (nommé prime). Ainsi, le sommet A de la figure initiale devient le sommet A' dans la figure image.

Les propriétés de la translation

Afin de vérifier qu'une image a été obtenue par translation, ou encore pour démontrer la construction d'une image par translation, on peut utiliser les propriétés de la translation.

Propriété de la translation Exemple
Les côtés homologues d'une figure initiale et de son image sont parallèles.|\overline{AB} \parallel \overline{A'B'}|, |\overline{AD} \parallel \overline{A'D'}|, |\overline{BC} \parallel \overline{B'C'}| et |\overline{CD} \parallel \overline{C'D'}|
L'ordre et l'orientation des sommets homologues sont conservés.Les sommets |A|, |B|, |C| et |D| sont placés dans le même ordre que |A'|, |B'|, |C'| et |D'|. Dans ce cas précis, ils sont dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
Les segments de droite tracés pour relier les sommets homologues sont parallèles et isométriques.|\overline{AA'} \parallel \overline{BB'} \parallel \overline{CC'} \parallel \overline{DD'}|

|\overline{AA'} \cong \overline{BB'} \cong \overline{CC'} \cong \overline{DD'}|

​Concrètement, ces propriétés permettent de vérifier si la translation a bien été effectuée et de la reconnaître parmi toutes les transformations géométriques.

La construction d'une image par translation

On peut tracer l'image d'une figure par translation en suivant les étapes suivantes:

1. À l'aide d'une règle et d'une équerre, tracer des droites parallèles à la flèche de translation t en passant par chacun des sommets de la figure.

2. Utilise une règle ou ouvre le compas selon une ouverture équivalant à la longueur de la flèche de translation et la conserver pour la suite de la construction.

3. Placer la pointe sèche du compas sur un sommet de la figure initiale et reporter la mesure du compas sur la droite parallèle à la flèche de translation en y traçant un petit arc de cercle ou utilise une règle.

4. Nommer les sommets images obtenus à l'aide du symbole « ' » pour ensuite les relier dans le bon ordre pour créer la figure image.

Supposons que l'on veut tracer la figure image du polygone ci-dessous par translation, on peut suivre les étapes suivantes:

1. À l'aide d'une règle et d'une équerre, tracer des droites parallèles à la flèche de translation t en passant par chacun des sommets de la figure.
2. Utilise une règle ou ouvre le compas selon une ouverture équivalant à la longueur de la flèche de translation et la conserver pour la suite de la construction.
3. Placer la pointe sèche du compas sur un sommet de la figure initiale et reporter la mesure du compas sur la droite parallèle à la flèche de translation en y traçant de petits arcs de cerccle ou utilise une règle.​
4. Nommer les sommets images obtenus à l'aide du symbole « ' » pour ensuite les relier dans le bon ordre afin de créer la figure image.

(Cliquer sur les images pour les agrandir)

Pour un exemple en temps réel, tu peux visionner le vidéo au bas de cette page.

Retrouver la flèche de translation à partir des figures initiale et image

Si un dessin présente la figure initiale et la figure image issue d'une translation, il est possible de retrouver la flèche de translation qui a été utilisée lors de la construction.

1) Identifier la figure image et la figure initiale
La figure image est celle dont l'identification des sommets est accompagnée du symbole « ' ». Ici, la figure image est le triangle vert alors que le triangle bleu est la figure initiale.
 

2) ​Tracer la flèche de translation t
​Pour ce faire, il suffit de relier les sommets homologues des deux figures par une droite et d'indiquer le sens de la translation par une flèche.
 
Les vidéos
 
Les exercices
Les références