Mathématique m1427

Placer en ordre des nombres entiers

​​​La comparaison de nombres entiers permet de situer ces nombres les uns par rapport aux autres. On peut alors les placer en ordre croissant ou en ordre décroissant.

Placer les nombres en ordre croissant revient à placer les nombres selon leur valeur, soit de la plus petite à la plus grande: 
||...\  <\  \text{-}4\  <\  \text{-}3\  <\  \text{-}2\  <\  \text{-}1\  <\  0\  <\  1\  <\  2\  <\  3\  <\  4\  <\   ...||
Placer les nombres en ordre décroissant revient à placer les nombres selon leur valeur, soit de la plus grande à la plus petite:
||...\  >\  4\  >\  3\  >\  2\  >\  1\  >\  0\  >\  \text{-}1\  >\  \text{-}2\  >\  \text{-}3\  >\  \text{-}4\  >\  ...||

L’ordre dans les nombres entiers est semblable à celui des nombres entiers naturels. La principale différence est que les nombres entiers comportent des nombres négatifs.

Représentations de l'ordre des nombres entiers

L'ordre dans les nombres entiers peut être représenté de plusieurs façons. En voici deux.

Dettes et avoirs

On utilise souvent les avoirs et les dettes pour représenter l'ordre des nombres entiers: les dettes font référence aux nombres négatifs alors que les avoirs font référence aux nombres positifs.

Jérémie possède |2\: $|. Son ami Grégorie, lui, a une dette de |4\:$|.

Comme Jérémie possède de l'argent, son avoir est représenté par un nombre positif. En d'autres mots, Jérémie a |+2\: $|.

La dette de Grégorie est représentée par un nombre négatif, car il doit de l'argent. Grégorie a |\text{-}4\: $|.

Dans les faits, on peut déduire que Jérémie a plus d'argent que Grégorie, ce qui implique que |\text{-4}\  <\  2|.

 m1427i21.png

De façon plus générale, on dira qu'un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif.

Voici un deuxième exemple qui représente une autre propriété de l'ordre dans les nombres entiers.

Reprenons notre Ami Grégorie qui a une dette de |4\:$|.

On peut affirmer qu'il est plus riche que Sophie, qui elle a une dette de |10\:$|.

Mathématiquement, on inscrira |\text{-}10<\text{-}4|.

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De façon plus générale, on dira que plus un nombre négatif est éloignée de |0|, plus il est petit.

Droite numérique

Comme avec les nombres naturels, il est possible de représenter l'ordre dans les nombres entiers à l'aide d'une droite numérique.

Une fois positionné sur une droite numérique, plus un nombre sera placé à droite, plus il sera grand.
m1427i213.png 
Inversement, plus un nombre sera positionné à gauche, plus il sera petit.

Les nombres suivants sont représentés sur la droite numérique.
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On peut voir que |\small \text{-}21| est le nombre avec la plus petite valeur, car il est celui positionné le plus à gauche sur la droite numérique. Le nombre |\small 17|, pour sa part, est le nombre ayant la plus grande valeur, car il est celui positionné le plus à droite.

L'ordre croissant de ces nombres est obtenu en les inscrivant de gauche à droite. ||\text{-}21\  <\  \text{-}14\  <\  \text{-}5\  <\  2\  <\  10\  <\  17||

On obtient l'ordre décroissant en inscrivant ces nombres de droite à gauche. ||17\  >\  10\  >\  2\  >\  \text{-}5\  >\  \text{-}14\  >\  \text{-}21||

Méthodes pour placer en ordre des nombres entiers

Plusieurs méthodes permettent de placer en ordre des nombres entiers. Nous en présenterons deux.

À l'aide des trois règles

Il existe trois règles permettant de décrire l'ordre dans les nombres entiers.

1. Plus un nombre négatif est éloigné de |\small 0|, plus il est petit.

2. Plus un nombre positif est éloigné de |\small 0|, plus il est grand.

3. Un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif.
m1427i215.png          

L'utilisation de ces trois règles permet de placer en ordre des nombres entiers. Voici les étapes de cette méthode.

1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.

2. Séparer les nombres en deux groupes, les nombres négatifs et les nombres positifs.

3. Utiliser les règles 1 et 2 pour placer en ordre les nombres négatifs et les nombres positifs selon l'ordre désiré.

4. Utiliser la règle 3 pour mettre en commun le deux groupes de nombres.

Place en ordre croissant les nombres suivants: ||42\qquad 59\qquad\ \text{-}32\qquad \text{-105}\qquad 56\qquad\text{-38}||
1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.
Tel que mentionné dans la question, les nombres doivent être placés en ordre croissant, c'est-à-dire du plus petit au plus grand.

2. Séparer les nombres en deux groupes, les nombres négatifs et les nombres positifs.
||\underbrace{\color{blue}{\text{-}32},\color{blue}{\text{-}105},\color{blue}{\text{-}38}}_{\text{Nombres négatifs}}\qquad \qquad \qquad \underbrace{\color{green}{42},\color{green}{56},\color{green}{59}}_{\text{Nombres positifs}}||

3. Utiliser les règles 1 et 2 pour placer en ordre les nombres négatifs et les nombres positifs selon l'ordre désiré.
Selon la règle 1 dit, on conclut que nombre |\small \color{blue}{\text{-}105}| est le plus petit, suivi du nombre |\small \color{blue}{\text{-}38}| puis de |\small \color{blue}{\text{-}32}|. ||\color{blue}{\text{-}105}\  <\  \color{blue}{\text{-}38}\  <\  \color{blue}{\text{-}32}|| Selon la règle 2, on conclut que le nombre |\small \color{green}{59}| est le plus grand, précédé de |\small \color{green}{56}|, puis de |\small \color{green}{42}|. ||\color{green}{42}\  <\  \color{green}{56}\  <\  \color{green}{59}||
4. Utiliser la règle 3 pour mettre en commun les deux groupes de nombres.
La règle 3 dit qu'un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif. On obtient donc l'ordre croissant suivant. ||\color{blue}{\text{-}105}\  <\  \color{blue}{\text{-}38}\  <\  \color{blue}{\text{-}32}\  <\  \color{green}{42}\  <\  \color{green}{56}\  <\  \color{green}{59}||

À l'aide de la droite numérique

Il est possible de placer des nombres entiers en ordre en utilisant une droite numérique. Les étapes de cette méthode sont présentées ci-dessous.

1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.

2. Tracer une droite numérique, si elle n'est pas déjà fournie.

3. En tenant compte du pas de variation, positionner sur la droite numérique les nombres à mettre en ordre.

4. Placer les nombres dans l'ordre désiré, sachant que plus un nombre est positionné à droite, plus il est grand.

Place en ordre décroissant les nombres suivants: ||\text{-}250\qquad 990\qquad \text{-}550\qquad \text{-}890\qquad 555||
1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.
Tel que mentionné dans la question, les nombres doivent être placés en ordre décroissant, c'est-à-dire du plus grand au plus petit.

2. Tracer une droite numérique, si elle n'est pas déjà fournie.
Nous avons décidé de tracer une droite numérique ayant un pas de graduation de |250|.

m1047i217b.png 

3. En tenant compte du pas de variation, positionner sur la droite numérique les nombres à mettre en ordre.

m1047i216b.png 

4. Placer les nombres dans l'ordre désiré.
Comme les nombres les plus grands sont ceux qui sont les plus à droite, on obtient l'ordre décroissant suivant: ||990\  >\  555\  >\  \text{-}250\  >\  \text{-}550\  >\  \text{-}890||

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