Mathématique m1431

La priorité d'opérations appliquée aux expressions algébriques

Pour résoudre une expression algébrique à plusieurs opérations, on doit tenir compte de la priorité des opérations.

Voici l'ordre à suivre :

1.  Les parenthèses;
2.  Les exposants;
3.  Les multiplications et divisions (de la gauche vers la droite);
4.  Les additions et les soustractions (de la gauche vers la droite).

Pour se souvenir de l'ordre, on peut prendre les premières lettres de chacune des étapes et former un mot : PEMDAS.
Réduire l'expression algébrique suivante: ||8(4x+12-5x)+8x^{3}\div2x^{2}|| 1. On commence par réduire les termes semblables à l'intérieur de la parenthèse. On peut soustraire |4x| et |5x|. ||\begin{align}8({\color{blue}{4x}}+12{\color{blue}{-5x}})&+8x^{3}\div2x^{2}\\
8(-x+12)&+8x^{3}\div2x^{2}\end{align}|| 2. On distribue le |8| en avant de la parenthèse en le multipliant avec chacun des termes à l'intérieur de la parenthèse.||\begin{align}{\color{blue}{8\cdot }}-x+{\color{blue}{8\cdot }}12&+8x^{3}\div2x^{2}\\
-8x+96&+8x^3\div 2x^2\end{align}|| 3. En suivant l'ordre de priorité, on effectue la division.||\begin{align}-8x+96&+{\color{blue}{8x^{3}\div2x^{2}}}\\
-8x+96&+4x\end{align}||  4. Finalement, on réduit les termes semblables. On additionne |-8x| et |4x| ||\begin{align}\color{blue}{-8x}&+96\color{blue}{+4x}\\
-4x&+96\end{align}||
L'expression réduite est donc:|-4x+96|.


Réduire l'expression suivante
||6(x+3)-(3x^{3}+6x^{3}+8x^{2}-4x)+36x^{5}\div3x^{3}\cdot x+9||
1. On commence par réduire les termes semblables dans les parenthèses s'il y a lieu. ||\begin{align}6(x+3)-({\color{blue}{3x^{3}}}{\color{blue}{+6x^{3}}}+8x^{2}-4x)&+36x^{5}\div3x^{3}\cdot x+9\\
6(x+3)-(9x^{3}+8x^{2}-4x)&+36x^{5}\div3x^{3}\cdot x+9\end{align}||
2. On fait la distributivité du |6| en le multipliant à chaque terme de la première parenthèse. ||\begin{align}{\color{blue}{6\cdot x}}+{\color{blue}{6\cdot 3}}&-(9x^{3}+8x^{2}-4x)+36x^{5}\div3x^{3}\cdot x+9\\
6x+18&-(9x^{3}+8x^{2}-4x)+36x^{5}\div3x^{3}\cdot x+9\end{align}||
3. On fait la distributivité du |-| pour la deuxième parenthèse. Il ne faut pas oublier que le négatif siginfie de multiplier la parenthèse par |-1|, on multiplie donc chacun des  termes de la 2e parenthèse par |-1|. Cela revient à changer les signes. ||\begin{align}6x+18{\color{blue}{-1\cdot 9x^{3}}}{\color{blue}{-1\cdot 8x^{2}-1\cdot -4x}}&+36x^{5}\div3x^{3}\cdot x+9\\
6x+18-9x^{3}-8x^{2}+4x&+36x^{5}\div3x^{3}\cdot x+9\end{align}||
4. On fait les divisions, de gauche à droite, s'il y en a. ||\begin{align}6x+18-9x^{3}-8x^{2}+4x&+{\color{blue}{36x^{5}\div3x^{3}}}\cdot x+9\\
6x+18-9x^3-8x^2+4x&+12x^2\cdot x+9\end{align}||
5. On fait les multiplication, de gauche à droite, s'il y en a. ||\begin{align}6x+18-9x^{3}-8x^{2}+4x&+{\color{blue}{12x^{2}\cdot x}}+9\\
6x+18-9x^{3}-8x^{2}+4x&+12x^{3}+9\end{align}||
6. On additionne et on soustrait les termes semblables. ||\color{blue}{6x}\color{fuchsia}{+18}\color{green}{-9x^{3}}-8x^{2}\color{blue}{+4x}\color{green}{+12x^{3}}\color{fuchsia}{+9}\\
3x^{3}-8x^{2}+10x+27||
L'expression réduite est donc |3x^{3}-8x^{2}+10x+27|.

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